RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिकोणमितीय अनुपात Additional Questions

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Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 10
Subject	Maths
Chapter	Chapter 6
Chapter Name	त्रिकोणमितीय अनुपात
Exercise	Additional Questions
Number of Questions Solved	46
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 6 त्रिकोणमितीय अनुपात Additional Questions

विविध प्रश्नमाला 6

वस्तुनिष्ठ प्रश्न ( 1 से 5 तक )-

प्रश्न 1.
tan-60° को (RBSESolutions.com) मान है
(क) 3
(ख) \(\frac{1}{3}\)
(ग) 1
(घ) ∞

प्रश्न 2.
2 sin²60° cos 60° का मान होगा

प्रश्न 3.
यदि cosec 8 = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)हो, तो 6 का मान है-

प्रश्न 4.
cos²45° का मान होगा-

प्रश्न 5.
यदि θ = 45° हो, तो \(\frac{1-\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}\) का (RBSESolutions.com) मान है-
(क) 0
(ख) 1
(ग) 2
(घ) ∞

उत्तर-तालिका 1. (क) 2. (ग) 3. (ख) 4. (ग) 5. (ख)

सिद्ध कीजिए ( 6 से 10 तक )-

प्रश्न 6.
cos 60° = 2 cos-30° – 1
हल:

प्रश्न 7.
\(\sin 60^{\circ}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\cos 60^{\circ}=\frac{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}\)
हल:

प्रश्न 9.
(sin 45° + cos 45°) = 2
हल:
L.H.S. = (sin 45° + cos 45°)

प्रश्न 10.
4 tan 30° sin 45° sin 60° sin 90° = 2  (RBSESolutions.com)
हल:
L.H.S. = 4 tan 30° sin 45° sin 60° sin 90°

प्रश्न 11.
sin²60° cot60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin²60° . cot-60°

प्रश्न 12.
4 cos³30° – 3 cos 30° का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:
4 cos³30° – 3 cos 30°

प्रश्न 13.
यदि cot θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) हो, तो सिद्ध कीजिए \(\frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{3}{5}\)
हल:

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए- (RBSESolutions.com)
3(tan²30° + cot²30°) – 8(sin²45° + cos²30°) = 0
हल:
L.H.S. = 3(tan²30° + cot²30°) – 8(sin²45° + cos²30°)

प्रश्न 15.
4(sin⁴30° + cos 60°) – 3(cos²45° – sin²90°) = \(\frac{15}{4}\)
हल:
L.H.S. = 4(sin⁴30° + cos 60°) – 3(cos²45° – sin²90°)

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.
2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²45° – tan²30°) = 6
हल:
L.H.S. = 2(cos²45° + tan²60°) – 6(sin²-45° – tan²30°)

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

प्रश्न 1.
2 cosec 30° sec 30° बराबर है-

प्रश्न 2.
यदि \(\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) है, तो 6 का (RBSESolutions.com) मान है-
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°

प्रश्न 3.
यदि θ = 30° हो, तो \(\frac{1-\sin ^{2} 2 \theta}{\cos 2 \theta}\) का मान होगा-
(A) 1
(B) -1
(C) 2
(D) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 4.
cot 30° का मान है-

प्रश्न 5.
sec 45° का मान (RBSESolutions.com) है-

प्रश्न 6.
sin²45° का मान है-

प्रश्न 7.
cot²60° का मान होता है-
(A) \(\frac{1}{3}\)
(B) 3
(C) 1
(D) ∞

प्रश्न 8.
यदि \(\tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\) तो θ का मान ह-
(A) 30°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 90°

प्रश्न 9.
यदि \(\sec \theta=\frac{2}{\sqrt{3}}\), तो θ का (RBSESolutions.com) मान है-

प्रश्न 10.
2 sin 30° cos 30° का मान है-

उत्तर-तालिका 1. (D) 2. (C) 3. (D) 4. (B) 5. (A) 6. (C) 7. (A) 8. (A) 9. (B) 10. (C)

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि tan θ = 1 हो तो sec θ का मान ज्ञात कीजिये।
हल
tan θ = 1 = tan 45°
θ = 45°
sec 45° = \(\sqrt{2}\) उत्तर

प्रश्न 2.
यदि sin θ = cos θ तो θ का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिये।
हल-:
sin θ = cos θ
या \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=1\)
या tan θ = 1 = tan 45°
∴ θ = 45° उत्तर

प्रश्न 3.
3 cos 60° – 4 cos²60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
3 cos 60° – 4 cos³ 60°

प्रश्न 4.
sec²30° + cosec²60° का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:
sec²30° + cosec²60°

प्रश्न 5.
sin² 60° + cos² 30° को मान लिखिए।
हल:

प्रश्न 6.
tan²60° + 3 cos²30° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan²60° +3 cos²30° (त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान रखने पर)

प्रश्न 7.
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

प्रश्न 8.
यदि tan θ = \(\sqrt{3}\) हो, तो 6 का मान लिखिए।
हल:
θ = 60°

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए-

हल:

प्रश्न 2.
यदि tan 3x = sin 45° cos 45° + sin 30° हो, तो x का मान (RBSESolutions.com) ज्ञात कीजिए। (x < 90°)
हल:
दिया है, tan 3x = sin 45° cos 45° + sin 30°
\(\tan 3 x=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
या tan 3x = 1 या tan 3x = tan 45°
या 3x = 45° या x = 15° उत्तर

प्रश्न 3.
sin 30° . cos² 30° + tan 45° . cos² 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin 30° . cos² 30° + tan 45° . cos² 60°

प्रश्न 4.
\(\frac{\tan 60^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 60^{\circ} \tan 30^{\circ}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan 60° = \(\sqrt{3}\) तथा tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) मान दिये गये (RBSESolutions.com) व्यंजक में रखने पर

प्रश्न 5.
4 sin 30° sin²60° + 3 cos 60° tan 45° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
4 sin 30° sin²-60° + 3 cos 60° tan 45°

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि sin(A + B) = 1 तथा cos (A – B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) यहाँ 0° < (A + B) ≤ 90°, A > B हो, तो A तथा B के (RBSESolutions.com) मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है-sin(A + B) = 1
या sin(A + B) = sin 90°
या A + B = 90° …..(1)
तथा cos(A – B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
या cos(A – B) = cos 30°
या A – B = 30° …..(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर
(A + B) + (A – B) = 90° + 30°
2A = 120° या A = 60°
A का मान समीकरण (1) में रखने पर ,
60° + B = 90°
B = 30°
∴ A = 60°, B = 30°

प्रश्न 2.
\(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\csc 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\) का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
\(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\csc 30^{\circ}}\) का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60° का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:
2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
= 2 (tan 45°)² + (cos 30°)² – (sin 60°)²

प्रश्न 5.
यदि tan (A + B) = \(\sqrt{3}\) और tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); 0° < A + B ≤ 90°, A > B तो A और B का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:
tan (A + B) = \(\sqrt{3}\)
tan (A + B) = tan 60°
या A+ B = 60°
tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
या tan (A – B) = tan 30°
या A – B = 30° …. (ii)
समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर

समीकरण (i) में मान रखने पर
A = 45°
45° + B = 60°
B = 60° – 45°
B = 15° उत्तर

प्रश्न 6.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। (RBSESolutions.com) कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) 8 में वृद्धि होने के साथ sin 8 के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) 6 में वृद्धि होने के साथ cos 6 के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) 8 के सभी मानों पर sin 8 = cos 8.
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल:
(i) जब A = 60°, B = 30°
L.H.S. = sin (A + B)
= sin (60° + 30°)
= sin 90° = 1
R.H.S. = sin A + sin B
= sin 60° + sin 30°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \neq 1\)
अर्थात् L.H.S. ≠ R.H.S.
यह असत्य है। उत्तर

और sin 90° = 1
अर्थात्, जब θ का मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो sin 6 का मान भी बढ़ता है। (RBSESolutions.com) परन्तु यह 8 = 90° तक ही सही है, आगे नहीं।
∴ यह सत्य है। उत्तर
(iii) क्योंकि cos 0° = 1

जब 8 को मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो cos 8 का मान घटता है। (RBSESolutions.com) अतः यह असत्य है। उत्तर
(iv) चूँकि sin 30° = \(\frac{1}{2}\)

सिर्फ θ = 45° पर मान बराबर है।
लेकिन θ के सभी मानों के लिये
sin θ ≠ cos θ
∴ दिया गया कथन असत्य है। उत्तर

(v) \(\cot 0^{\circ}=\frac{1}{\tan 0^{\circ}}=\frac{1}{0}\), या परिभाषित नहीं। यह सत्य है। उत्तर

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