RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Additional Questions

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Additional Questions is part of RBSE Solutions for Class 10 Maths. Here we have given Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Additional Questions.

Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 10
Subject	Maths
Chapter	Chapter 7
Chapter Name	त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
Exercise	Additional Questions
Number of Questions Solved	59
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Additional Questions

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
\(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}\) बराबर (RBSESolutions.com) है
(A) cos θ
(B) sin θ
(C) sec θ
(D) cot θ

प्रश्न 2.
\(\frac { \sqrt { { cosec }^{ 2 }\theta -1 } }{ cosec\theta } \) बराबर है
(A) cos θ
(B) sec θ
(C) sin θ
(D) cosec θ

प्रश्न 3.
sin θ cosec θ + cos θ sec θ बराबर (RBSESolutions.com) है
(A) 2
(B) 1
(C) \(\frac{1}{2}\)
(D) – 1

प्रश्न 4.
दिया गया है कि \(\sin \alpha=\frac{1}{2}\) और \(\cos \beta=\frac{1}{2}\) तब (α +β) का (RBSESolutions.com) मान है—
(A) 0°
(B) 30°
(C) 60°
(D) 90°

प्रश्न 5.
\(\frac { 3sec51^{ \circ } }{ cosec{ 39 }^{ \circ } } \) का मान है-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0

प्रश्न 6.
यदि \(\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\frac{1}{2}\) हो तो 6 का मान होगा
(A) 90°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°

प्रश्न 7.
sin²50° + cos²50° + 1 का मान (RBSESolutions.com) बराबर है
(A) 2
(B) 1
(C) \(\frac{1}{2}\)
(D) 0

प्रश्न 8.
\(\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}\) बराबर होगा

प्रश्न 9.
cosec²θ – 1 बराबर है
(A) tan²θ
(B) cot²θ
(C) – tan²θ
(D) – cot²θ

प्रश्न 10.
sec²θ – tan²θ का (RBSESolutions.com) मान है-
(A) 2
(B) 1
(C) 3
(D) 2

उत्तर-तालिका 1. (B) 2. (A) 3. (A) 4. (D) 5. (C) 6. (D) 7. (A) 8. (B) 9. (B) 10. (B)

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
यदि sin 3A = cos (A – 26°) हो, जहाँ 3A एक न्यून कोण है। तो A का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया गया है-
sin 3A = cos (A – 26°)
∵ sin 3A = cos (90° – 3A)
∴ cos (90° – 3A) = cos (A – 26°)
क्योंकि 90° – 3A और A- 26° दोनों ही न्यूनतम (RBSESolutions.com) कोण हैं,
∴ 90° – 3A = A – 26°
या 4A = 90° + 26° = 116°
\(A=\frac{116^{\circ}}{4}=29^{\circ}\) उत्तर

प्रश्न 2.
cot 85° + cos 75° को (0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिये ।
हल:
cot 85° + cos 75° = cot (90° – 5°) + cos (90° – 15°)
∵ cot(90° – θ) = tan θ
cos(90° – θ) = sinθ
= tan 5° + sin 15° उत्तर

प्रश्न 3.
sin 25° . cos 65° + cos 25° . sin 65° + sin² 25° + sin 65° का मान (RBSESolutions.com) ज्ञात कीजिये ।
हल:
sin 25° . cos 65° + cos 25° . sin 65° + sin 25° + sin² 65°
= sin(90° – 65°) . cos 65° + cos(90° – 65°) . sin 65° + sin (90° – 65°) + sin 65°
= cos 65° . cos 65° + sin 65° . sin 65° + cos² 65° + sin² 65°
= cos² 65° + sin² 65° + cos² 65° + sin² 65°
∵ sin² θ + cos² θ
= 1 = 1 + 1 = 2 उत्तर

प्रश्न 4.
यदि sin θ = cos θ तो θ का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
∵ sin θ = cos θ
⇒ sin θ = sin (90° – θ)
⇒ θ = 90° – θ
⇒ 2 θ = 90°
⇒ \(\theta=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}\) उत्तर

प्रश्न 5.
4 sin 18 sec 72° का मान (RBSESolutions.com) लिखिए।
हल:
4 sin 18 sec 72° = 4 sin 18 sec (90° – 18°)
= 4 sin 18° . cosec 18°
\(=4 \sin 18^{\circ} \times \frac{1}{\sin 18^{\circ}}=4\) उत्तर

प्रश्न 6.
cos² 50° + cos² 40° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
cos² 50° + cos² (90° – 50°)
= cos² 50° + sin² 50°
= 1 उत्तर

प्रश्न 7.
\(\frac{\sqrt{1-\sin ^{2} 40^{\circ}}}{\cos 40^{\circ}}\) का सरलतम (RBSESolutions.com) मान लिखिए।
हल:
\(\frac{\sqrt{\cos ^{2} 40^{\circ}}}{\cos 40^{\circ}}=\frac{\cos 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}=1\) उत्तर

प्रश्न 8.
sin θ . cosec θ – cos θ sec θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin θ . cosec θ – cos θ . sec θ
\(=\sin \theta \cdot \frac{1}{\sin \theta}-\cos \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta}=1-1=0\) उत्तर

प्रश्न 9.
(1 – sin² θ) sec² θ का मान लिखिए।
हल:
(1 – sin² θ) sec θ
= cos² θ . sec² θ
\(=\cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta}=1\) उत्तर

प्रश्न 10.
\(\frac { 1 }{ \sqrt { { cosec }^{ 2 }\theta -1 } } \) का (RBSESolutions.com) मान लिखिए।
हल:
\(\frac { 1 }{ \sqrt { { cosec }^{ 2 }\theta -1 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { { cot }^{ 2 }\theta } } =\frac { 1 }{ \sqrt { cot\theta } } =tan\theta \) उत्तर

प्रश्न 11.
\(\frac{\tan 49^{\circ}}{\cot 41^{\circ}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan 49° = cot(90° – 49°) = cot 41°
{tan θ = cot(90 – θ)}
∴ \(\frac{\tan 49^{\circ}}{\cot 41^{\circ}}=\frac{\cot 41^{\circ}}{\cot 41^{\circ}}=1\)

प्रश्न 12.
sin²50° + sin²40° का मान (RBSESolutions.com) ज्ञात कीजिए।
हल:
40° = 90° – 50°
∴ sin 40° = sin(90° – 50°) = cos 50°
अतः sin²50° + sin²40° = sin²50° + cos²50° = 1 (∵ sin²θ + cos²θ = 1)

प्रश्न 13.
tan 39° – cot 51° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan 39° = tan(90° – 51°) = cot 51°
अतः tan 39° – cot 51° = cot 51° – cot 51° = 0

प्रश्न 14.
sec 50° sin 40° + cos 40° cosec 50° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sec 50° sin 40° + cos 40° cosec 50°
= sec(90° – 40°) sin 40° + cos 40° cosec (90° – 40°)
= cosec 40° sin 40° + cos 40° sec 40°
\(=\frac{1}{\sin 40^{\circ}} . \sin 40^{\circ}+\cos 40^{\circ} \cdot \frac{1}{\cos 40^{\circ}}\) 1 + 1 = 2

प्रश्न 15.
यदि tan 2A = cot (A – 18°) हो तो A का मान (RBSESolutions.com) ज्ञात कीजिए।
हल:
tan 2A = tan [90 – (A – 18°)]
tan 2A = tan(108 – A)
∴ 2A = 108° – A
3A = 108° ⇒ A = 36°

प्रश्न 16.
tan 52° tan 38° का मान ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18 )
हल:
tan 52° tan 38°
= tan 52° tan (90° – 52°)
= tan 52° cot 52° ∵ tan (90° – θ) = cot θ
= 1 उत्तर ∵ tan θ. cot θ = 1

प्रश्न 17.
cos 50° . cosec 40° का मान लिखिये। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
cos 50° . cosec 40°
⇒ cos(90° – 40°) . cosec 40°
⇒ sin 40° . cosec 40° ∵ cos(90° – θ) = sin θ
= 1 उत्तर ∵ sin θ × cosec θ = 1

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
sec² 65° – cot² 25° – 2 sin 30° cos 60° का (RBSESolutions.com) मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sec² 65° – cot² 25° – 2 sin 30° cos 60°
यहाँ 25° = 90° – 65° करने पर-
cot (25°) = cot (90° – 65°)
cot 25° = tan 65° [∵ cot (90° – θ) = tan θ]
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाएगा-
(sec² 65° – tan² 65°) – 2 sin 30° cos 60°
= \(1-2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) [∵ sec² θ – tan² θ = 1]
= \(1-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\) उत्तर

प्रश्न 2.
\(5 \frac{\sin 17^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+2 \frac{\cos 67^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}-6 \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin 17° = sin (90° — 73°)
या sin 17° = cos 73° …. (i)
cos 67° = cos (90° – 23°)
या cos 67° = sin 23° …. (ii)
sin 15° = sin (90° – 75°)
या sin 15° = cos 75° …. (iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) से sin 17°, cos 67° व sin 15° के मान (RBSESolutions.com) मूल व्यंजके में रखने पर
\(=5 \cdot \frac{\cos 73^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+2 \frac{\sin 23^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}-6 \frac{\cos 75^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}\)
= 5 (1) + 2 (1) – 6 (1) = 5 + 2 – 6
= 7 – 6 = 1 उत्तर

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिये कि
sec A (1 – sin A) (sec A + tan A) = 1
हल:

प्रश्न 4.
\(\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}\) का (RBSESolutions.com) मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}\)
हम जानते हैं कि cot A = tan (90° – A)
अतः cot 25° = tan (90° – 25°) = tan 65°
अर्थात् \(\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}=\frac{\tan 65^{\circ}}{\tan 65^{\circ}}\)
= 1 उत्तर

प्रश्न 5.
sin 35° cos 55° + cos 35° sin 55° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin 35° cos 55° + cos 35° sin 55°
= sin 35° × cos (90° – 35°) + cos 35° × sin (90° – 35°) [∵ cos (90°- θ) = sinθ sin (90°- θ) = cosθ]
= sin 35° × sin 35° + cos 35° × cos 35°
= sin 35° + cos² 35° (∵sin² θ + cos² θ = 1, θ के प्रत्येक मान के लिये) = 1 उत्तर

प्रश्न 6.
cos 12° + cos 78° का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:
cos 12° + cos 78°
= cos- 12° + {cos (90° – 12°)}²
= cos² 12° + sin° 12° [∵ cos (90° – θ) = sin θ]
= 1 उत्तर

प्रश्न 7.
दिखाइए कि tan 36° tan 17° tan 54° tan 73° = 1
हल:
tan 36° tan 17° tan 54° tan 73°
= tan 36° tan 17° tan (90° – 36°) . tan (90° – 17°)
= tan 36° . tan 17° cot 36° cot 17°
= tan 36° . cot 36° . tan 17° . cot 17°
= 1.1
= 1 उत्तर

प्रश्न 8.
दिखाइए कि sin 28° cos 62° + cos 28° sin 62° = 1.
हल:
sin 28° cos 62° + cos 28° sin 62°
= sin 28° × cos (90° – 28°) + cos 28° × sin (90° – 28°)
[∵ cos (90° – θ) = sin θ तथा sin (90° – θ) = cos θ]
= sin 28° . sin 28° + cos 28° . cos 28°
= sin² 28° + cos² 28°
(∵  sin² θ + cose² θ = 1, θ के प्रत्येक मान के लिये)
= 1 उत्तर

प्रश्न 9.
\(\frac{\tan 67^{\circ}}{\cot 23^{\circ}}\) का मान (RBSESolutions.com) ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{\tan 67^{\circ}}{\cot 23^{\circ}}\)
हम जानते हैं कि cot A = tan (90° – A)
अतः cot 23° = tan (90° – 23°) = tan 67°
अर्थात् \(\frac{\tan 67^{\circ}}{\cot 23^{\circ}}=\frac{\tan 67^{\circ}}{\tan 67^{\circ}}=1\) उत्तर

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि \(\left[\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right]^{2}=\tan ^{2} A\)
हल:

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि cot θ + tan θ = cosec θ sec θ
हल:

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि (1 + tan²θ)(1 + sin θ) (1 – sin θ) = 1
हल:
LHS (वाम पक्ष)= (1 + tan²θ)(1 + sin θ)(1 – sin θ)
= (1 + tan²θ) (1 – sin² θ)
= sec² θ cos²θ
\(=\frac{1}{\cos ^{2} \theta} \cdot \cos ^{2} \theta\)
= 1 = RHS (दक्षिण पक्ष) (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए (RBSESolutions.com) कि \(\frac{1}{1+\sin \theta}+\frac{1}{1-\sin \theta}=2 \sec ^{2} \theta\)
हल:

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए tan 15° tan 20° tan 70° tan 75° = 1
हल:
वाम पक्ष (LHS) = tan 15° tan 20° tan 70° tan 75°
= tan 15° tan 20° tan (90° – 20°) tan (90° – 15°)
= tan 15° tan 20° . cot 20° . cot 15°
= tan 15° tan 20° \(\frac{1}{\tan 20^{\circ} \tan 15^{\circ}}=1\) (RHS) (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 15.
सिद कीजिए \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}=\tan \theta\)
हल:

प्रश्न 16.
सिद्ध (RBSESolutions.com) कीजिए कि cos⁴θ – sin⁴θ = 1 – 2sin²θ
हल:
LHS (वाम पक्ष) = cos⁴θ – sin⁴θ
= (cos²θ)² – (sin²θ)²
= (cos²θ + sin²θ) (cos²θ – sin²θ)
∵ a² – b² = (a + b) (a – b)
= 1. (cos²θ – sin²θ) ∵ sin²θ + cos²θ = 1
= 1. (1 – sin²θ – sin²θ) = 1 – 2sin²θ
= RHS (दक्षिण पक्ष) (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 17.
यदि sin θ + cos θ = p और sec θ + cosec θ = q हो, तो सिद्ध (RBSESolutions.com) कीजिए कि q(p² – 1) = 2p (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
LHS (वाम पक्ष) = q(p² – 1) p
p व q का मान रखने पर = (sec θ + cosec θ) [(sin θ + cos θ) – 1]

निबन्धात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
यदि θ = 30° तो अग्रलिखित का मान (RBSESolutions.com) ज्ञात कीजिए-
\(\frac{3 \cot \left(90^{\circ}-\theta\right)-\tan ^{3} \theta}{1-3 \cot ^{2}\left(90^{\circ}-\theta\right)}\)
हल:
θ = 30° रखने पर व्यंजक होगा-

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए-
tan 6° . tan 26° tan 64° . tan 84° = 1
हल:
L.H.S. = tan 6° . tan 26° tan 64° . tan 84°
∵   6° = 90° – 84°
∴   tan 6° = tan (90° – 84°)
tan 6° = cot 84° [∵ tan (90° – 8) = cot 8] ….(i)
तथा 26° = 90° – 64°
tan 26° = tan (90° – 64°)
tan 26° = cot 64° ….(ii)
समीकरण (i) वे (ii) से दिए गए व्यंजक (RBSESolutions.com) में मान रखने पर
= tan 6° . tan 26° tan 64° . tan 84°
= cot 84° . tan 84° . cot 64° . tan 64° ∵ tan θ . cot θ = 1
= 1 . 1 = 1 = R.H.S. (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिए-
cosec (90° – θ) + x cos o cot (90° – θ) = sin (90° – θ)
हल:
cosec (90° – θ) + x cos θ cot (90° – θ) = sin (90° – θ)
⇒ sec θ + x cos θ tan θ = cos θ

प्रश्न 4.
निम्न का मान ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिये – (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
हल:
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec 0)

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिये-

हल:

प्रश्न 6.
निम्न सर्वसमिका को सिद्ध (RBSESolutions.com) कीजिये-

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिये कि-

हल:

प्रश्न 8.
सर्वसमिका sec² θ = 1 + tan² θ का प्रयोग (RBSESolutions.com) करके सिद्ध कीजिए कि
\(\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}\)
हल:
क्योंकि हमें sec θ और tan θ से सम्बन्धित सर्वसमिका प्रयुक्त करनी है, इसलिए सबसे पहले सर्वसमिका के वाम पक्ष के अंश और हर को cos θ से भाग देकर वाम पक्ष को sec θ और tan θ के पदों में रूपान्तरित करने पर
वाम पक्ष = \(\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{\tan \theta-1+\sec \theta}{\tan \theta+1-\sec \theta}\)

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि
\(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\) = cosec θ + cot θ (मध्य. शिक्षा बोर्ड , 2018)
हल:

प्रश्न 10.
(i) यदि cos 3A = sin(A – 34°) हो, जहाँ 3A एक न्यून कोण है (RBSESolutions.com) तो A का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है।
\(\frac{1+\cot ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\left(\frac{1-\cot A}{1-\tan A}\right)^{2}\)
हल:
(i) यहाँ यह दिया हुआ है कि
cos 3A = sin(A – 34°) ….(1)
cos 3A = sin(90° – 3A)
इसलिए समीकरण (1) को इस रूप में लिख सकते हैं।
sin(90° – 3A) = sin(A – 34°)
क्योंकि 90° – 3A और A – 34° दोनों ही न्यून कोण हैं, इसलिए
90° – 3A = A – 34°
या -3A – A = -34° – 90°
या -4A = -124°

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए (RBSESolutions.com) कि \((\sec \theta-\tan \theta)^{2}=\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}\)
हल:

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि \(\frac { sin\theta }{ 1+cos\theta } +\frac { 1+cos\theta }{ sin\theta } =2cosec\theta \)
हल:

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए (RBSESolutions.com) कि \(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)
हल:

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि \(\frac { cosA+cosecA-1 }{ cotA-cosecA+1 } =\frac { 1+cosA }{ sinA } \)
हल:

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए (RBSESolutions.com) कि \(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}=\tan ^{2} A\) \(\left[0 \leq \mathbf{A}<45^{\circ}\right]\) (माध्य. शिक्षा बोर्,ड मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:

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