Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Miscellaneous Exercise
प्रश्न 1.
समीकरण x² + x – 2 = 0 का हल समुच्चय रोस्टर रूप में है
(A) {1, 2}
(B) {-1, 2}
(C) {-1, -2}
(D) {1, -2}
हल :
(D)
प्रश्न 2.
B = {y : y अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है} का रोस्टर रूप है
(A) {a, e, i, o}
(B) {a, e, 0, u}
(C) {a, 0, u}
(D) {a, e, i, 0, u}
हल :
(D)
प्रश्न 3.
समुच्चय A = {1,4, 9, 16, 25,…….} का समुच्चय निर्माण रूप होगा
(A) {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}
(B) {x : x एक सम प्राकृत संख्या है}
(C) {x : x एक प्राकृत संख्या का वर्ग है}
(D) {x : x एक अभाज्य प्राकृत संख्या है}
हल :
(C)
प्रश्न 4.
निम्नलिखित समुच्चयों में कौनसा अपरिमित है
(A) {x : x ∈ N और (x – 1) (x – 2) = 0}
(B) {x : x ∈ N और x² = 4}
(C) {x : x ∈ N और 2x – 1 = 0}
(D) {x : x ∈ N और x एक अभाज्य संख्या है}
हल :
(D)
प्रश्न 5.
यदि A = {0}, B = {x : x > 15 और x < 5}, C = {x : x – 5 = 0}, D = {x : x² = 25}, E = {x : x² समीकरण x² – 2x – 15 = 0 का एक धन पूर्णांक मूल है} हो, तो समान समुच्चयों का युग्म है
(A) A, B
(B) B, C
(C) C, D
(D) C, E
हल :
(D)
प्रश्न 6.
समुच्चयों Φ, A = {1, 3}, B = {1, 5, 9}, C = {1, 5, 7, 9} के लिए निम्न में से सत्य है
(A) A ⊂ B
(B) B ⊂ C
(C) C ⊂B
(D) A ⊂ C
हल :
(B)
प्रश्न 7.
यदि A = {2, 4, 6, 8} और B = {1, 4, 7, 8} तो A – B तथा B – A क्रमशः होंगे
(A) {2, 6}; {1, 7}
(B) {1, 7}; {4, 8}
(C) {1, 7}; {2, 6}
(D) {4, 8]; {1, 7}
हल :
(A)
प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से कौनसा कथन सत्य है?
(A) A ∩ B ⇒ Φ ३ A = Φ या B = Φ
(B) A – B ⇒ Φ A ⊂ B
(C) A ∪ B ⇒ Φ = A ⊂ B
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A)
प्रश्न 9.
यदि A ∩ B = Φ तो
(A) A – B = Φ
(B) A – B = A
(C) A ∪ B = Φ
(D) A – B = B
हल :
(B)
प्रश्न 10.
निम्न वेन आरेख का छायांकित क्षेत्र निरूपित करता है
(A) A ∪B
(B) A ∩ B
(C) A – B
(D) B – A
हल :
(C)
प्रश्न 11.
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8} हो, तो A – B का मान होगा।
(A) {1, 3, 5, 8}
(B) {1, 3, 5}
(C) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
(D) { }
हल :
(B)
प्रश्न 12.
निम्नलिखित कथनों में से सत्य कथन है
(A) {2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(B) {a, e, i, 0, u} तथा {a, b, c, d} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(C) {2, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(D) {2, 7, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
हल :
(C)
प्रश्न 13.
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 3} और B = {3, 4, 5} हो, तो सत्य है
(A) (A ∪ B)’ = {2, 3, 4, 5}
(B) B – A = {4, 5}
(C) A – B = {2, 4, 5}
(D) (A ∪ B) = {3}
हल :
(B)
प्रश्न 14.
निम्न प्रदर्शित वेन आरेख का छायांकित क्षेत्र निरूपित करता है
(A) (A ∩ B) ∩ C
(B) (A ∪ B) ∩ C
(C) (A ∩ B) ∪ C
(D) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
हल :
(D)
प्रश्न 15.
समुच्चय A – (B ∩ C) को निरूपित करने वाला वेन आरेख है
हल :
(B)
प्रश्न 16.
निम्नलिखित में कौनसे संग्रह समुच्चय हैं? समझाइये।
(i) 8 से कम सम प्राकृत संख्याओं का संग्रह
(ii) भारत के बड़े नगरों का संग्रह
(iii) विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों का संग्रह
(iv) संख्या 46 को विभाजित करने वाले सभी पूर्ण संख्याओं का संग्रह।
(v) विश्व के सर्वश्रेष्ठ 20 क्रिकेट के बल्लेबाजों का संग्रह
(vi) ‘सभी सम पूर्णांकों का संग्रह
(vii) कवि कालिदास द्वारा रचित काव्यों का संग्रह
(vii) भारतीय संस्कृति में योगदान देने वाले महापुरुषों का संग्रह।
उत्तर-
(i), (iv), (vi), (vii)
प्रश्न 17.
निम्नलिखित समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखिए।
(i) A = {x : x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 9}
(ii) B = {x : x दो अंकों की प्राकृत संख्या जिसके अंकों का योगफल 6 है।
(iii) C = MATHEMATICS शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय ।
(iv) D = {x : x एक अभाज्य संख्या है जो 50 से छोटी है।
हल-
(i) A = {x : x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 9}
रोस्टर रूप में लिखने पर
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
चूँकि यहाँ पर x का मान 2 से लेकर 9 तक है।
(ii) B = {x : x दो अंकों की प्राकृत संख्या जिसके अंकों को योग्रफल 6 है}
हमें यहाँ पर दो अंकों की प्राकृत संख्या लेनी है जिनके अंकों का योग 6 होना चाहिये जो कि निम्न होगी 15, 24, 33, 42, 51
अतः समुच्चय B = {15, 24, 33, 42, 51}
(iii) MATHEMATICS शब्द में M दो बार, T दो बार और A दो बार आया है। लेकिन समुच्चय के रूप में लिखने पर इन्हें एक बार ही लिखा जायेगा। अतः C = {M, A, T, H, E, I, C, S}
(iv) D = {x : x एक अभाज्य संख्या है जो 50 से छोटी है। अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं, जिनमें केवल स्वयं का ही भाग जाता है। इसलिए D= {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}
प्रश्न 18.
यदि A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4} तथा C = {4, 6, 8, 10} हो, तो रिक्त स्थानों में उपयुक्त चिह्न लगाइये।
(i) 4…A, 5…B
(ii) 2…A, 3…B, 4..C
(iii) B…A, A…C
(iv) A – B…C
(v) A…B = B
(vi) B – C… {2}
(vii) B∩C = {…}
(viii) B∪C – A = {…}
हल-
(i) 4 ∈ A, 5 ∉ B
(ii) 2 ∈ A, 3 ∈ B, 4 ∈ C
(iii) B ∈ A, A ∉ C
(iv) A – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 3, 4}
= {1, 5, 6}
इसलिए A – B ≠ C
(v) A ∩ B = B
(vi) B – C = {2, 3, 4} – {4, 6, 8, 10}
= {2, 3}
इसलिए B – C ≠ {2}
(vii) B∩C = {4}
(viii) B∪C – A
{2, 3, 4} ∪ {4, 6, 8, 10} – {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {2, 3, 4, 6, 8, 10} – {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {8, 10}
अतः B ∪ C – A = {8, 10}
प्रश्न 19.
प्रत्येक के दो-दो उदाहरण बताइए
(i) रिक्त समुच्चय
(ii) परिमित समुच्चय
(iii) अपरिमित समुच्चय
(iv) सार्वत्रिक समुच्चय
हल-
(i) रिक्त समुच्चय
उदाहरण 1. A = समान्तर रेखाओं के कटान बिन्दुओं को
समुच्चय = { } या Φ
उदाहरण 2. A = {x : 4 < x < 5, x ∈ N} = { } या Φ
(ii) परिमित समुच्चय
उदाहरण 1. एक वर्ष के महीनों का समुच्चय एक परिमित समुच्चय है। (2)
उदाहरण 2. A = {x : x ≤ 15, x ∈ N} A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,……., 15} परिमित समुच्चय है।
(iii) अपरिमित समुच्चये
उदाहरण 1. A = {x : x > 15, x ∈ N}
= {16, 17, 18, 19, 20, ……. ∞}
अपरिमित समुच्चय है।
उदाहरण 2. पूर्ण संख्याओं का समुच्चय
W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………..∞}
अपरिमित समुच्चय है।
(iv) सार्वत्रिक समुच्चय
उदाहरण 1. यदि A = {a, i, r}, B = {x : x jaipur शब्द के अक्षर हैं।
तथा C = {a, j, p} हैं तब
U = {a, i, j, p, r, u}
उदाहरण 2. A = {x : x परिमेय संख्या है}
B = {x : x अपरिमेय संख्या है}
U = {x : x वास्तविक संख्या है}
प्रश्न 20.
यदि A = {a, b, c, d}, B = {p, q, r} तथा C = {a, b, p, q} हो, तो निम्नलिखित की सत्यता की जाँच कीजिए।
(i) A – B = C
(ii) B – C ≠ A
(iii) B – A ≠ Φ
(iv) (A ∪ B) – C = {c, d, r}
(v) (A ∪ B) ∩ C = C
हल-
(i) A – B = C
A – B = {a, b, c, d} – {p, q, r}
= {} या Φ
किन्तु C = {a, b, p, q} है।
∴ A – B ≠ C
अतः (i) असत्य है
(ii) B – C ≠ A
B – C= {p, q, r} – {a, b, p, q}
= {r}
किन्तु A = {a, b, c, d} है।
इसलिए B – C ≠ A
अतः (ii) सत्य है।
(iii) B – A = Φ
B – A = {p, q, r} – {a, b, c, d}
= {p, q, r} ≠ Φ
अतः (iii) असत्य है।
(iv) (A ∪ B) – C = {c, d, r}
L.H.S. (A ∪ B) = {a, b, c, d} ∪ {p, q, r}
= {a, b, c, d, p, q, r}
(A ∪ B) – C = {a, b, c, d, p, q, r} – {a, b, c, q}
= {c, d, r}
अतः L.H.S. = R.H.S.
अतः (iv) सत्य है।
(v) (A ∪ B) ∩ C = C
L.H.S. A ∪ B = {a, b, c, d} ∪ {p, q, r}
= {a, b, c, d, p, q, r}
(A ∪ B) ∩ C = {a, b, c, d, p, q, r} ∩ {a, b,p, q}
= {a, b, p, q}
= C
अतः L.H.S.= R.H.S.
अतः (v) सत्य है।
प्रश्न 21.
यदि A = Φ हो, तो P(A) में कितने अवयव होंगे ?
हल-
दिया है A = Φ या { }
अर्थात् अवयवों की संख्या शून्य है।
इसलिए P(A) = 2° = 1
प्रश्न 22.
निम्नलिखित समुच्चयों को अन्तराल के रूप में लिखिए।
(i) {x : x ∈ R, a < x < b}
(ii) {x : x ∈ R, 3 < x ≤ 5}
(iii) {x : x ∈ R, 0 ≤ x < 8}
(iv) {x : x ∈ R, -1 ≤ x ≤ 5}
हल-
(i) यहाँ पर x का मान निम्न प्रकार है
a<x<b
इसलिए इसका अन्तराल रूप (a, b)
(ii) x का मान निम्न है
3 < x ≤ 5 इसलिए इसका अन्तराल रूप (3,5)
(iii) x का मान निम्न है
0 ≤ x < 8
इसलिए इसका अन्तराल रूप (0, 8)
(iv) x का मान निम्न है
– 1 ≤ x ≤ 5
इसलिए इसका अन्तराल रूप [-1, 5]
प्रश्न 23.
निम्नलिखित अन्तराल को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए।
(i) (2, 5)
(ii) [0, 7]
(iii) [2, 10]
(iv) [-5, 0]
हल-
(i) {x : x ∈ R, 2 < x < 5}
(ii) {x : x ∈ R, 0 ≤ x < 7}
(iii) {x : x ∈ R, 2 ≤ x ≤ 10}
(iv) {x : x ∈ R -5 ≤ x ≤ 0}
प्रश्न 24.
यदि A = {x : x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 9} तथा B = {x : x दो अंकों की प्राकृत संख्या जिसके अंकों का योगफल 8 है} तो निम्न समुच्चय ज्ञात कीजिए।
(i) A∪B
(ii) A∩B
(iii) A – B
(iv) (A – B) ∪ (B – A)
हल-
यदि A = {x : x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 9}
सारणीबद्ध रूप में लिखने पर
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
तथा B = {x : x दो अंकों की प्राकृत संख्या जिसके अंकों का योगफल 8 है}
सारणीबद्ध रूप में लिखने पर
B = {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71}
हमें निम्न का मान ज्ञात करना है
(i) A∪B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∪ {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71}
(ii) A∩B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}∩{17, 26, 35, 44, 53, 62, 71}
= { } या Φ
(iii) A – B= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A – B = A
(iv) (A – B) ∪ (B – A) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∪ {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71}
(A – B) ∪ (B – A) = A ∪ B
प्रश्न 25.
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4} तथा C = {4, 6, 8, 10} हो, तो निम्न समुच्चयों का मान ज्ञात कीजिए।
(i) (A ∪ B) ∩ B
(ii) (A ∩ B) ∪ C
(iii) A’ ∪ B’
(iv) (A ∪ B)’
हल-
(i) (A ∪ B) ∩ B
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {2, 3, 4}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
इसलिए (A ∪ B) ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4}
= {2, 3, 4}
अतः (A ∪ B) ∩ B = B
(ii) (A ∩ B) ∪ C
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4}
= {2, 3, 4}
इसलिए (A ∩ B) ∪C = {2, 3, 4} ∪ {4, 6, 8, 10}
= {2, 3, 4, 6, 8, 10}
(iii) A’ ∪ B’
हम जानते हैं A’ = ∪ – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {7, 8, 9, 10}
इसी तरह से B’ = ∪ – B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {2, 3, 4}
= {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A’ ∪ B’ = {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(iv) (A ∪ B) = ∪ – (A ∪ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {7, 8, 9, 10}
प्रश्न 26.
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} तथा B = {2, 3, 4} हो, तो सिद्ध कीजिए कि
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
हल-
(i) दिया है-
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 3, 4}
सत्यापित करना है (A ∪ B) = A’ ∩ B’
L.H.S. (A ∪ B) = U – (A ∩ B)
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {2, 3, 4}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ (A ∪ B)’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(A ∪ B)’ = {7, 8, 9, 10} ….(i)
अब A’ = U – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {7, 8, 9, 10}
B’ = U – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {2, 3, 4}
= {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A’ ∩ B’ = {7, 8, 9, 10} ∩ {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
= {7, 8, 9, 10} ….(ii)
समी. (i) तथा (ii) से
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B) = A’ ∪ B’
(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B)
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4}
= {2, 3, 4}
(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {2, 3, 4}
(A ∩ B)’ = {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ….(i)
A’ ∪ B’ = {7, 8, 9, 10} {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
= {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ….(ii)
समी. (i) तथा (ii) से
(A ∩ B)’ = A’ ∪B’
प्रश्न 27.
वेन आरेख की सहायता से निम्न समुच्चयों को प्रदर्शित कीजिए।
(i) (A ∪ B) ∩ C
(ii) (A ∩ B) ∪ C
(iii) A’ ∪ B’
(iv) (A ∪ B)’
हल-
प्रश्न 28.
वेन आरेख की सहायता से सिद्ध कीजिए कि
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
हल-
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
