RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 प्रायिकता Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 14 प्रायिकता Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
एक सिक्के को n बार उछालने पर n(S) है
(A) 2n
(B) 2ⁿ
(C) n²
(D) n/2
हल :
(B)

प्रश्न 2.
दो पासों के उछालने पर उनका योगफल 3 आने की प्रतिदर्श समष्टि है
(A) (1, 2)
(B) {(2, 1)}
(C) {(3, 3)}
(D) {(1, 2), (2, 1}}
हल :
(D)

प्रश्न 3.
एक सिक्का तथा एक पासा एक साथ उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की संख्या है
(A) 12
(B) 6
(C) 64
(D) 36
हल :
(A)

प्रश्न 4.
किसी अभिप्रयोग का प्रत्येक परिणाम कहलाता है
(A) प्रतिदर्श समष्टि
(B) यादृच्छिक परीक्षण
(C) प्रतिदर्श बिन्दु
(D) क्रमित-युग्म
हल :
(C)

प्रश्न 5.
तीन सिक्कों के उछालने पर कम से कम शीर्ष आने की घटना E हो, तो n(E) होगा
(A) 6
(B) 3
(C) 4
(D) 8
हल :
(C)

प्रश्न 6.
यदि E₁ ∩ E₂ = Φ हो, तो E₁ व E₂ घटनाएँ होंगी
(A) अपवर्जी
(B) स्वतन्त्र
(C) आश्रित
(D) पूरक
हल :
(D)

प्रश्न 7.
एक लीप वर्ष में 53 सोमवार होने की अनुकूल घटनाएँ होंगी
(A) 7
(B) 2
(C) 1
(D) 14
हल :
(B)

प्रश्न 8.
एक कलश में 4 सफेद, 3 काली तथा 2 लाल गेंदें हैं। तीनों गेंदे अलग-अलग रंग की होने की अनुकूल स्थितियाँ होंगी-
(A) 9
(B) 24
(C) 12
(D) 7
हल :
(B)

प्रश्न 9.
दो परस्पर अपवर्जी घटनाओं में P(A ∪ B) का मान है–
(A) P(A) + P(B)
(B) P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
(C) P(A) . P(B)
(D) P(A). P(B/A)
हल :
(A)

प्रश्न 10.
तीन विद्यार्थियों A, B तथा C के द्वारा प्रश्न हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \(\frac { 1 }{ 3 } ,\frac { 1 }{ 3 } \) तथा \(\frac { 1 }{ 4 }\) हैं तो कम से कम एक द्वारा प्रश्न हल करने की प्रायिकता है-

हल :
(C)

प्रश्न 11.
दो पासों के एक साथ उछाले जाने पर उन पर प्रदर्शित अंकों का अन्तर एक होने की प्रायिकता होगी-

हल :
(A)

प्रश्न 12.
ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है, इसके लाल या काला पत्ता होने की प्रायिकता है-

हल :
(B)

प्रश्न 13.
दो पासों को उछालने पर अंकों का योग 4 का गुणज आने की प्रायिकता है

हल :
(A)

प्रश्न 14.
1, 2, 3, 4, 5, 6 एवं 8 अंकों से 5 अंकों की संख्याएँ बनाई जाएँ तो दोनों सिरों पर सम अंक आने की प्रायिकता है

हल :
(D)

प्रश्न 15.
तीन पासों की फेंक में तीनों पर समान अंक आने की प्रायिकता

हल :
(A)

प्रश्न 16.
एक तैराकी दौड़ में A के पक्ष में संयोगानुपात 2 : 3 तथा B के विपक्ष में संयोगानुपात 4 : 1 है। A या B के दौड़ जीतने की प्रायिकता है

हल :
(C)

प्रश्न 17.
एक पंक्ति में यादृच्छिक रूप से 10 विद्यार्थी बैठे हैं। दो विशेष प्रकार के विद्यार्थी पास-पास नहीं बैठने की प्रायिकता है

हल :
(D)

प्रश्न 18.
एक ढेरी में 12 मद हैं जिसमें 4 दोषपूर्ण हैं । 3 मद यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक करके बिना देरी में वापस रखे निकाले ज़ाते हैं। उनमें कोई भी दोषपूर्ण नहीं होने की प्रायिकता है–

हल :
(C)

प्रश्न 19.
किसी निश्चित घटना की प्रायिकता होगी

हल :
(C)

प्रश्न 20.
एक परिवार में तीन बच्चों में से कम से कम एक लड़का हो तो उस परिवार में 2 लड़के और 1 लड़की होने की प्रायिकता है

हल :
(B)

प्रश्न 21.
एक अध्यापक के कक्षा में परीक्षा लेने की प्रायिकता है। यदि एक विद्यार्थी दो बार अनुपस्थित रहे, तो वह कम से कम एक परीक्षा नहीं दे सकने की प्रायिकता है

हल :
(A)

प्रश्न 22.
किसी वर्ष में जो लीप वर्ष न हो में 53 रविवार आने की प्रायिकता बताइए।
हल-
एक अलीप वर्ष में 365 दिन होते हैं अर्थात् एक अलीप वर्ष में \(\frac { 365 }{ 7 }\) = 52 सप्ताह व 1 दिन होते हैं।
इससे यह अर्थ निकलता है कि 52 सप्ताह में 52 रविवार तो होंगे ही, अब 1 दिन जो बचा है वह निम्न में से एक हो सकता हैं –
(रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार)
अतः कुल नि:शेष स्थितियाँ = 7
रविवार के पक्ष में अनुकूल स्थिति = 1
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 7 }\)

प्रश्न 23.
A और B दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ ऐसी हैं कि P(A) = 0.3, P(B) = K और P(A ∪ B) = 0.5 तो K का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ A व B दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः P(A∩B) = 0
अब P(A) = 0.3, P(B) = K
तथा P(A∪B) = 0.5
P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.5
0.3 + K – 0 = 0.5
K = 0.5 – 0.3
K = 0.2

प्रश्न 24.
‘PEACE’ शब्द के अक्षरों से बनने वाले शब्दों में दोनों E के साथ आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ नि:शेष स्थितियाँ = PEACE शब्द के अक्षरों से बनने वाले

प्रश्न 25.
एक थैले में 6 लाल तथा 8 काली गेंदें हैं। चार-चार गेंदों को दो बार उससे निकाला जाता है। पहली बार के चारों गेंदों को निकालकर पुनः उसमें रख दिया जाता है। क्या प्रायिकता होगी कि पहली बार चारों गेंदें लाल तथा दूसरी बार चारों गेंदें काली हों ?
हल-
थैले में कुल गेंदें = 6 + 8 = 14
∴थैले में से चार गेंदें निकालने के तरीके = ¹⁴C₄
6 लाल गेंदों में से 4 गेंदें निकालने के कुल तरीके = ⁶C₄

प्रश्न 26.
एक व्यक्ति 5 में से 3 बार सत्य बोलता है। उसका कथन है कि 6 सिक्कों को उछालने पर 2 चित्त आये तो इस घटना के वास्तविक रूप में सत्य होने की क्या प्रायिकता है?
हल-
माना व्यक्ति द्वारा कहा गया कथन कि 6 सिक्कों के उछालने पर 2 चित्त आये, E से निरूपित है। माना S₁, 6 सिक्कों को
उछालने पर 2 चित्त आना और S₂, 6 सिक्कों को उछालने पर 2 चित्त नहीं आना है । तब
P(S₁) = 6 सिक्कों को उछालने पर 2 चित्त आने की प्रायिकता

प्रश्न 27.
दो पासों का एक साथ फेंकने पर इस बात की क्या प्रायिकता है। कि उन पर न तो समान अंक आये और न ही अंकों का योग 9 आये।
हल-
यहाँ समस्त सम्भावित स्थितियाँ–
{(1,1), (1, 2), ……………. (1, 6)
(2, 1) ………………. (2, 6)
(3, 1) ……………. (3, 6)
(4, 1) ………… (4, 6)
(5, 1) ………… (5, 6)
(6, 1) ………….. (6, 6)}
कुल नि:शेष स्थितियाँ = 36
समान अंक व 9 योग आने की स्थितियाँ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5,4)}
कुल प्रतिकूल स्थितियाँ = 10
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 36 – 10 = 26
अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 26 }{ 36 }\) = \(\frac { 13 }{ 18 }\)

प्रश्न 28.
तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि
(i) ठीक दो शीर्ष हों
(ii) कम से कम दो शीर्ष हों
(iii) अधिक से अधिक दो शीर्ष हों
(iv) तीन शीर्ष हों
हल-
तीन सिक्कों को एक साथ उछालने पर आने वाली सम्भावित स्थितियाँ = [HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT]
कुल संख्या = 8
अतः नि:शेष स्थितियाँ = 8
(i) अनुकूल स्थितियाँ = [HHT, HTH, THH] = संख्या 3
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(ii) कम से कम दो शीर्ष होने पर अनुकूल स्थितियाँ = [HHH, HHT, HTH, THH]
संख्या = 4
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 4 }{ 8 }\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(iii) अधिक से अधिक दो शीर्ष होने पर अनुकूल स्थितियाँ
[HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT]
संख्या = 7.
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 7 }{ 7 }\)
(iv) तीनों शीर्ष होने पर अनुकूल स्थितियाँ = [HHH]
संख्या = 1
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 8 }\)

प्रश्न 29.
एक घुड़दौड़ में 4 घोड़े A, B, C, D दौड़ते हैं। A, B, C व D के पक्ष में संयोगानुपात क्रमशः 1 : 3, 1 : 4, 1 : 5 तथा 1 : 6 है। इनमें से किसी एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
A, B, C व D के पक्ष में संयोगानुपात दिए गए हैं, इसलिए

प्रश्न 30.
अगले 25 वर्षों में एक व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता \(\frac { 3 }{ 5 }\) और उसकी पत्नी के उन्हीं 25 वर्षों जीवित रहने की प्रायिकता \(\frac { 2 }{ 3 }\) है। निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए
(i) दोनों के जीवित रहने की।
(ii) किसी के भी जीवित न रहने की।
(iii) कम से कम एक के जीवित रहने की।
(iv) केवल पत्नी के जीवित रहने की ।
हल-
अगले 25 वर्षों तक व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता
P(A) = \(\frac { 3 }{ 5 }\)
∴ P(\(\overline { A } \)) = \(1-\frac { 3 }{ 5 }\) = \(\frac { 2 }{ 5 }\)
व्यक्ति की पत्नी के अगले 25 वर्षों तक जीवित रहने की प्रायिकता
P(B) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
∴ P(\(\overline { B } \)) = \(1-\frac { 2 }{ 3 }\) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)

(i) दोनों के जीवित रहने की प्रायिकता
P = P(A∩B) = P(A) x P(B)

(ii) किसी के भी जीवित न रहने की प्रायिकता

(iii) कम के कम एक के जीवित रहने की प्रायिकता

(iv) केवल पत्नी के जीवित रहने की प्रायिकता

प्रश्न 31.
किसी तथ्य में A और B स्वतन्त्र गवाह हैं। A के सत्य बोलने की प्रायिकता x तथा B के सत्य बोलने की प्रायिकता है। यदि किसी कथन पर A और B दोनों सहमत हों तो सिद्ध कीजिए
कि इस कथन के सत्य होने की प्रायिकता = \(\frac { xy }{ 1-x-y+2xy }\) होगी ।
हल-
माना A तथा B के सत्य बोलने की घटनाएँ क्रमशः x और y हैं।
∴ P(X) = x
तथा P(Y) = y
⇒ P(\(\overline { X } \)) = (1 – x) तथा P(\(\overline { Y } \)) = (1 – y)
यदि Z किसी कथन पर दोनों की सहमति की घटना को व्यक्त करता है, तो

प्रश्न 32.
A, B, C तीन पुरुष बारी-बारी से एक सिक्का उछालते हैं। जिसके पहले चित्त आये उसी की जीत होती है। यदि A की पारी पहले हो तो उनकी जीत की सम्भावनाएँ क्या हैं?
हल-
चित्त आने पर जीत होती है तथा चित्त आने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
अब माना A के चित्त आने की प्रायिकता P(A) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)

प्रश्न 33.
सुलक्षणा और सुनयना बारी-बारी से एक सिक्का उछालती है। जिसके पहले चित्त आये उसी की जीत होती है। यदि सुलक्षणा की बारी पहले आये तो दोनों की जीतने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना सुलक्षणा A है तथा सुनयना B है। तब सिक्के को उछालते हैं तो कुल नि:शेष स्थितियाँ = 2 होंगी और अनुकूल स्थितियाँ = 1 चित्त आने की प्रायिकता

(i) पहले फेंकने पर चित्त आ जायेगा उसकी प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(ii) पहले फेंकने पर चित्त नहीं आता है। दूसरे फेंकने में चित्त फेंकने की प्रायिकता

(iii) अब पहली तथा दूसरी बार में चित्त नहीं आता है। तीसरी बार में चित्त आता है। उसकी प्रायिकता

इसी प्रकार आगे की फेंक के लिए प्रायिकता ज्ञात की जा सकती है। अतः A के जीतने की प्रायिकता निम्न प्रकार से हो सकती है

यह गुणोत्तर श्रेणी है। अनन्त पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी के अनन्त पदों का योग हम निम्न सूत्र से ज्ञात करते हैं-

A के जीतने की प्रायिकत = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
इसलिए A के हारने की प्रायिकता = \(1-\frac { 2 }{ 3 }\)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\)
A के हारने की प्रायिकता B के जीतने की प्रायिकता होगी।
अत: B के जीतने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 3 }\)

प्रश्न 34.
संख्याओं के निम्न दो समूहों में से एक-एक अंक का चुनाव किया जाता है- (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) यदि p₁ दोनों अंकों को योग 10 होने तथा p₂ दोनों अंकों का योग 8 होने की प्रायिकता हो तो p₁ + p₂ ज्ञात कीजिए।
हल-
p₁ प्रायिकता दोनों अंकों का योग 10 होने पर है। अंकों का योग 10 निम्न प्रकार से आ सकता है। (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5,5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)
इसलिए अनुकूल स्थितियाँ = 9
कुल नि:शेष स्थितियाँ = 9 x 9

p₂ प्रायिकता दोनों अंकों का योग 8 होने पर है । अंकों का योग 8 निम्न प्रकार से आ सकता है (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4,4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)
अतः अनुकूल स्थितियाँ होंगी = 7

प्रश्न 35.
यदि P(A) = 0.4. P(B) = 0.8. \(P\left( \frac { B }{ A } \right) \) = 0.6 तो \(P\left( \frac { A }{ B } \right) \) और P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए।
हल-
P(A) = 0.4, P(B) = 0.8

(ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.4 + 0.8 – 0.24
= 1.2 – 0.24
= 0.96

प्रश्न 36.
यदि P(E) = 0.35, P(F) = 0.45, P(E ∪ F) = 0.65 तो \(P\left( \frac { F }{ E } \right) \) ज्ञात कीजिए।
हल-
P(E) = 0.35, P(F) = 0.45
अब P(E ∪ F) = 0.65
P(E) + P(F) – P(E ∩ F) = 0.65
0.35 + 0.45 – P(E ∩ F) = 0.65
0.80 – P(E ∩ F) = 0.65
P(E ∩ F) = 0.8 – 0.65
= 0.15

प्रश्न 37.
एक पासे की पाँच उछालों में केवल 1 अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
एक पासे को उछालने पर अंक 1 आने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
अतः पासे की पाँच उछालों में केवल 1 अंक आने की प्रायिकता

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