RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धान्त Ex 4.1

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धान्त Ex 4.1

प्रश्न 1.
यदि कथन P(n) : (a + 3) < 2ⁿ⁺³ है, तो P(4) लिखिए।
हल-
दिया गया कथन
P(n) : (n + 3) < 2ⁿ⁺³
∴ P(4) : (4 + 3) < 2⁴⁺³
P(4) : 7 < 2⁷
अतः P(4) का मान 7 < 2⁷ होगा।

प्रश्न 2.
यदि कथन P(n) : 1² + 3² + 5² + …… + (2n – 1)² = \(\frac { n(2n-1)(2n+1) }{ 3 }\) है तो P(4) की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल-
दिया गया कथन P(n) : 1² + 3² + 5² + …… + (2n – 1)² = \(\frac { n(2n-1)(2n+1) }{ 3 }\)
n = 4 रखने पर LHS का मान
P(4) = 1² + 3² + 5² + 7²
= 1 + 9 + 25 + 49 = 84

अतः LHS = RHS
इसलिए P(4) की सत्यता की जाँच हो गई। अर्थात् दिया गया कथन सत्य है।

प्रश्न 3.
1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) +…… का n वाँ पद लिखिए।
हल-
श्रेणी में पहला पद = 1.
दूसरा पद = 1 + 3
पद = 1 + 3 + 5
इसलिए n वाँ पद
T_n = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….. + (2n – 1)

प्रश्न 4.
1.4.7 + 2.5.8 + 3.6.9 +…… को n वाँ पद लिखिए।
हल-
हमें यहाँ पर तीन श्रेणियाँ प्राप्त हो रही हैं–
1, 2, 3, ……….. n वाँ पद ∴ T_n = n
4, 5, 6, ……….. n वाँ पद ∴ T_n= n + 3
7, 8, 9,……….. n वाँ पद ∴ T_n= (n + 6)
अतः 1.4.7 + 2.5.8 + 3.6.9 +…… का n वाँ पद
T_n = n(n + 3)(n + 6)

सभी n ∈ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध कीजिए :

प्रश्न 5.
1 + 3 + …… + (2n – 1) = n²
हल-
मान लीजिए कि
P(n) : 1 + 3 + 5 + ……. + (2n – 1) = n²
n = 1 के लिए।
L.H.S. = 1
R.H.S. = 1² = 1
⇒ L.H.S. = R.H.S.
अतः P(1) सत्य है।
अब हम कल्पना करेंगे कि n = k के लिए सत्य है अर्थात् P(k) सत्य है।
⇒ 1 + 3 + 5 +….. + (2k – 1) = k²
अब हम सिद्ध करेंगे कि P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है।
[1 + 3 + 5 + …..+ (2k – 1)] + [2k + 1) – 1] = k² + [2(k + 1) – 1]
= k² + 2k + 2 – 1
= k² + 2k + 1 = (k + 1)²
अतः P(k + 1) सत्य है जबकि P(k) सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन n प्रत्येक मान के लिए सत्य है।

प्रश्न 6.
1 + 4 + ….. + (3n – 2) = \(\frac { n(3n-1) }{ 2 }\)
हल-
माना दिया हुआ कथन P(n) है अर्थात्
P(n) : 1 + 4 + ….. + (3n – 2) = \(\frac { n(3n-1) }{ 2 }\)
n = 1 के लिए
LHS P(1) = 1


इस प्रकार कथन P(k + 1) के लिए सत्य है जब कभी P(k) सत्य है अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से n ∈ N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 7.
1.3 + 3.5 + …….. + (2n – 1) (2n + 1) = \(\frac { n\left( { 4n }^{ 2 }+6n-1 \right) }{ 3 } \)
हल-
माना कि P(n) : 1.3 + 3.5 + …….. + (2n – 1) (2n + 1) = \(\frac { n\left( { 4n }^{ 2 }+6n-1 \right) }{ 3 } \)
सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है। अतः n = 1 के लिए।


L.H.S.= R.H.S.
अतः P(k + 1) सत्य है।

प्रश्न 8.
1.3 + 2.4 + …… + n(n + 2) = \(\frac { n(n+1)(2n+7) }{ 6 }\)
हल-
माना कि
P(n) : 1.3 + 2.4 + …… + n(n + 2) = \(\frac { n(n+1)(2n+7) }{ 6 }\)
सिद्ध करना है P(1) सत्य है।
∴ n = 1 के लिए


= RHS
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 9.
1.2.3 + 2.3.4 + …….. + n(n + 1) (n + 2) = \(\frac { n(n+1)(n+2)(n+3) }{ 4 }\)
हल-
माना कि
P(n) : 1.2.3 + 2.3.4 + …….. + n(n + 1) (n + 2) = \(\frac { n(n+1)(n+2)(n+3) }{ 4 }\)
सिद्ध करना है- P(1) सत्य है।


अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 10.

हल-
माना कि P(n) :

सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है। अतः n = 1 के लिए


अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 11.

हल-
माना कि
P(n) :

सिद्ध करना है—P(1) सत्य है।
n = 1 के लिए


अतः L.H.S. = R.H.S.
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है । अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 12.

हल-
माना कि

प्रश्न 13.

हल-
माना कि P(n) :

सिद्ध करना है कि P(1) भी सत्य है। ∴ n = 1 के लिए।

LHS = RHS
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 14.

हल-
माना कि

सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है। अतः n = 1 के लिए


= k² + 4k +4 = (k + 2)² = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
अतः P(k+ 1) सत्य है।

प्रश्न 15.

हल-
माना कि P(n) :

सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है। अतः n = 1 के लिए


L.H.S. = R.H.S.
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 16.

हुल-
माना कि P(n) :

सिद्ध करना है-P(1) सत्य है। ∴ n = 1 के लिए


= R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 17.
2ⁿ > n
हल-
मान लीजिए कि P(n) : 2ⁿ > n
n = 1 के लिए 2¹ > 1, अतः P(1) सत्य है।
हम कल्पना करते हैं कि किसी धन पूर्णांक k के लिए P(k) सत्य है।
अर्थात् P(k) : 2^k > k ….(1)
अब हम सिद्ध करेंगे कि P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है।
समीकरण के दोनों पक्षों में 2 का गुणा करने पर हमें प्राप्त होता
2.2^k > 2k
अर्थात् 2^k+1 > 2k = k + k> k + 1
इसलिए P(k + 1) सत्य है। जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से प्रत्येक धन पूर्णांक n के लिए P(n) सत्य है।

प्रश्न 18.
(1 + x)ⁿ ≥ (1 + nx), x > 0
हल-
मान लीजिए कि दिया गया कथन P(n) है।
अर्थात् P(n) : (1 + x)ⁿ ≥ (1 + nx), x > 0 के लिए
जब n = 1, P(1) सत्य है क्योंकि (1 + x) ≥ (1 + x) जो x > 0 के लिए सत्य है।
हम कल्पना करते हैं कि P(k) : (1 + x)^k ≥ (1 + kx), x > 0 सत्य है। …..(1)
अब हम सिद्ध करेंगे कि P(k + 1) सत्य है, x > 0 के लिए, जब कभी P(k) सत्य है।
सर्वसमिका (1 + x)^k+1 = (1 + x)^k (1 + x) पर विचार करने पर …..(2)
दिया है कि x > 0, इस प्रकार (1 + x) > 0.
∴ (1 + x)^k ≥ (1 + kx) का प्रयोग कर हम देखते हैं।
(1 + x)^k+1 ≥ (1 + kx) (1 + x)
अर्थात् (1 + x)^k+1 ≥ (1 + x + kx + kx²). …..(3)
यहाँ k एक प्राकृत संख्या है और x² ≥ 0 इस प्रकार kx² ≥ 0. इसलिए ।
(l + x + kx + kx²) ≥ (1 + x + kx),
इस प्रकार हमें प्राप्त होता है।
(1 + x)^k+1 ≥ (1 + x + kx)
अर्थात् (1 + x)^k+1 ≥ [1 + (1 + k)x]
इस प्रकार, कथन (2) सिद्ध होता है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए P(n) सत्य है।

प्रश्न 19.
1 + 2 +….. + n < \(\frac { 1 }{ 8 }\) (2n + 1)²
हल-
मान्त कि P(n) : 1 + 2 + 3 + ….. + n < \(\frac { 1 }{ 8 }\) (2n + 1)²
सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है। ∴ n = 1 के लिए


L.H.S. = R.H.S.
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 20.
x²ⁿ – y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।
हल-
माना कि P(n) : x²ⁿ – y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।
सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है। अतः n = 1 के लिए
x²ⁿ – y²ⁿ = x^2.1 – y^2.1 = x² – y² जो कि (x + y) से भाज्य है।
L.H.S. = R.H.S.
अतः P(1) सत्य है।
माना कि P(k) भी सत्य होगा। अतः
x^2k – y^2k भी x + y से भाज्य है।
सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है। इसके लिए

X तथा Y दोनों ही x + y से भाज्य हैं अतः X + Y भी x + y से भाज्य होगा।
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 21.
2³ⁿ – 1, 7 से भाज्य है।
हल-
माना कि P(n) : 2³ⁿ – 1, 7 से भाज्य है।
सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है । अतः n = 1 के लिए
2^3.1 – 1 = 2³ – 1 = 8 – 1 = 7 जो कि 7 से भाज्य है।
LHS = RHS
अतः P(1) सत्य है।
माना कि P(K) सत्य है। अत: 2^3k – 1 भी 7 से भाज्य है।
सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है इसके लिए
P(k + 1) = 2^3(k+1) – 1
= 2^3k+3 – 1 = 2³. 2^3k – 1
= 2³(2^3k – 1) + 7
किन्तु (2^3k – 1) जो कि 7 से भाज्य है।
इसलिए 2³(2^3k – 1) +7 भी 7 से भाज्य होगा।
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 22.
10ⁿ + 3.4ⁿ⁺² + 5, 9 से भाज्य है।
हल-
माना कि P(n) : 10ⁿ + 3.4ⁿ⁺² + 5, 9 से भाज्य है।
सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है। अतः n = 1 के लिए
P(1) = 10¹ + 3.4¹⁺² + 5
= 10 + 3 x 64 + 5
= 10 + 192 + 5 = 207
जो कि 9 से भाज्य है।
LHS = RHS
अतः P(1) सत्य है।
माना कि P(k) भी सत्य होगा अतः
10^k + 3.4^k+2 + 5, भी 9 से भाज्य है। …….(1)
सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है। इसके लिए।
10^k+1 + 3.4^(k+1)+2 + 5
= 10^k.10¹ + 3.4^k+2 + 4¹ + 5
= 10.10^k = 12.4^k+2 + 5
= 10.10^k + 30.4^k+2 – 18.4^k+2 + 50 – 45
= 10(10^k + 3.4^k+2 + 5) – 9(2.4^k+2 + 5)
समीकरण (1) से 10^k + 3.4^k+2 + 5, 9 से भाज्य है और
संख्या 9(2.4^k+2 + 5) भी 9 से भाज्य है।
अतः 10(10^k + 3.4^k+2 + 5) – 9(2.4^k+2 + 5), 9 से 9 भाज्य होगी ।
इसलिए P(k + 1) सत्य है जबकि P(k) सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।।

प्रश्न 23.
41ⁿ – 14ⁿ संख्या 27 का एक गुणज है।
हल-
माना कि P(n) : 41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का एक गुणज है।
सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है। अतः n = 1 के लिए
41ⁿ – 14ⁿ = 41¹ – 14¹ = 27 जो कि 27 को एक गुणज है।
अतः P(1) सत्य है।
माना कि P(k) भी सत्य होगा। अतः
41^k – 14^k, 27 का एक गुणज है।
सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है। या
41^k+1 – 14^k+1 , 27 का एक गुणज है।

यहाँ x तथा y दोनों ही 27 की गुणज हैं अत: x + y भी 27 की गुणज होगी।
अतः x + y, 27 की गुणज है।
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 24.
(2n + 7) < (n + 3)²
हल-
माना कि P(n) : (2n + 7) < (n + 3)²
सिद्ध करना है कि P(1) सत्य है। अतः n = 1 के लिए।
(2n + 7) < (n + 3)²
(2 x 1 + 7) < (1 + 3)²
9 < 16 जो कि सत्य है।
अतः P(1) सत्य है।
माना कि P(k) भी सत्य होगा। अतः
2k + 7 < (k + 3)²
सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है। इसके लिए
2(k + 1) + 7 < (k + 1 + 3)²
2k + 9 < (k + 4)²
माना गया है कि 2k + 7 < (k + 3)²
दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर
2k + 7 + 2 < (k + 3)² + 2
2k + 9 < k² + 9 + 6k + 2
2k + 9 < k² + 6k + 11 …….(i)
अब k² + 6k + 11 < k² + 8k + 16
या k² + 6k + 11 < (k + 4)² ……(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
2k + 9 < (k + 4)²
अतः P(k + 1) सत्य है।
इस प्रकार P(k + 1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से सभी प्राकृत संख्याओं N के लिए कथन P(n) सत्य है।

प्रश्न 25.

हल-
मान लीजिए कि दिया गया कथन P(n) है,

यहाँ पर n = 1 के लिए, P(n) सत्य है क्योंकि P(1)


इस प्रकार P(k + 1) सत्य हुआ जब कभी P(k) सत्य है। अतः गणितीय आगमन द्वारा n ∈ N के लिए P(n) सत्य है।

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