Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Miscellaneous Exercise
प्रश्न 1.
सम्मिश्र संख्या \(\frac { 1+i }{ 1-i }\) का वास्तविक एवं काल्पनिक भाग क्रमशः है
(A) 1, 1
(B) 0, 0
(C) 0, 1
(D) 1, 0
हल :
(C)
प्रश्न 2.
यदि 2 + (2a + 5ib) = 8 + 10i, तब
(A) a = 2, b = 3
(B) a = 2, b = -3
(C) a = 3, b = 2
(D) a = 3, b = -2
हल :
(C)
प्रश्न 3.
3 – i की गुणन प्रतिलोम है
हल :
(A)
प्रश्न 4.
\(\frac { 2-3i }{ 4+i }\) का संयुग्मी है
हल :
(B)
प्रश्न 5.
यदि z1, z2, ∈ C तो कौनसा कथन सत्य है
(A) |z1 – z2| ≥ |z1| + |z2|
(B) |z1 + z2| ≤ |z1 – z2|
(C) |z1 + z2| ≥ |z1 – z2|
(D) |z1 – z2| ≤ |z1| + |z2|
हल :
(D)
प्रश्न 6.
यदि |z – 3| = [z + 3| तो z स्थित है
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) x = y रेखा पर
(D) x = -y रेखा पर
हल :
(B)
प्रश्न 7.
-2 का मुख्य कोणांक लिखिए।
हल-
-2 = -2 + i.0
यहाँ पर a < 0, b > 0 (द्वितीय चतुर्थांश)
प्रश्न 8.
का ध्रुवीय रूप लिखिए।
हल-
माना
प्रश्न 9.
4 + 5w4 + 3w5 का मान होगा?
हल-
4 + 5w4 + 3w5
= 4 + 5w3.w + 3w3.w2
= 4 + 5w + 3w2
प्रश्न 10.
को a + ib रूप में लिखिए।
हल-
प्रश्न 11.
|1 – i|x = 2x के शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या है।
हल-
अतः शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या = शून्य।
प्रश्न 12.
यदि z1, z2 ∈ C तो सिद्ध कीजिए
(i) |z1 – z2| ≤ |z1| + |z2|
(ii) |z1 + z2| ≥ |z1| – |z1|
हल-
प्रश्न 13.
यदि |z1| = 1 = |z2| तो सिद्ध कीजिए
हल-
प्रश्न 14.
यदि \(\frac { { \left( a+i \right) }^{ 2 } }{ 2a-i } =p+iq\) तो सिद्ध कीजिए कि \({ p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 }=\frac { { \left( { a }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 } }{ { 4a }^{ 2 }+1 } \)
हल-
दिया है।
प्रश्न 15.
यदि |z1| = |z2| तथा कोणांक z1 + कोणांक z2 = 0 तो सिद्ध कीजिए कि \({ z }_{ 1 }={ \bar { z } }_{ 2 }\)
हल-
माना z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1)
एवं z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)
⇒ |z1| = r1, |z2| = r2 एवं कोणांक z1 = θ1, कोणांक z2 = θ2
प्रश्नानुसार, |z1| = |z2| ⇒ r1 = r2 ….(1)
एवं कोणांक z1 + कोणांक z2 = 0
⇒ θ1 + θ2 = 0 ∴ θ1 = -θ2 ……(2)
z1 = r1(cos θ1 + i sin θ2)
z1 = r2(cos(-θ2) + i sin (-θ2) [समी (1) एवं (2) से]
z1 = r2[cos θ2 – i sin θ2]
\({ z }_{ 1 }={ \bar { z } }_{ 2 }\)
प्रश्न 16.
यदि θ1,θ2 क्रमश सम्मिश्र सख्याएँ z1,z2 के कोणांक हैं तो सिद्ध कीजिए कि
हल :
प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि
(i) (a + bw + cw²)(a + bw² + cw) = a² + b² + c² – ab – bc – ca
(ii) (a + b + c)(a + bw + cw²)(a + bw² + cw) = a³ + b³ + c³ – 3abc
हल :
(i) (a + bw + cw²)(a + bw² + cw)
⇒ a² + abw² + acw + abw + b²w3 + bcw² + acw² + bcw4 + c2w3
⇒ a² + abw² + acw + abw + b².1 + bcw² + acw² + bcw3.w + c².1. ∵ w³ = 1
⇒ a² + b² + c² + abw + abw² + bcw + bcw² + acw + acw²
⇒ a² + b² + c² + ab(w + w²) + bc(w + w²) + ac(w + w²)
हम जानते हैं कि 1 + w + w² = 0 ∵ w + w² = -1
मान रखने पर
⇒ a² + b² + c² + ab(-1) + bc(-1) + ac(-1)
⇒ a² + b² + c² – ab – bc – ca = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
(ii) (a + b + c)(a + bw + cw²)(a + bw² + cw) = a3 + b3 + c3 – 3abc
⇒ (a + b + c)(a2 + abw2 + acw + abw + b2w3 + bcw2 + acw2 + bcw4 + cw3)
⇒ (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + abw2 + acw + abw + bcw2 + acw2 + bcw3.w)
⇒ (a + b + c)(a² + b² + c² ab(w + w²) + bc(w + w²) + ac(w + w²))
हम जानते हैं कि 1 + w + w² = 0 ∵ w + w² = -1
मान रखने पर
⇒ (a + b + c)(a² + b² + c² + ab(-1) + bc(-1) + ac(-1))
⇒ (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ac)
⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = R.H.S.
अतः L.H.S.= R.H.S.
प्रश्न 18.
यदि α, β दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हों तथा |β| = 1 तो सिद्ध कीजिए कि
हल-
माना कि α = x + iy
तथा β = c + id
प्रश्न 19.
यदि α तथा β समीकरण px² – qx – r = 0 के मूल हैं, तो वह समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल \(\frac { 1 }{ \alpha } \) तथा \(\frac { 1 }{ \beta } \) हैं।
हल-
दिया गया द्विघात समीकरण
px² – qx – r = 0
इस समीकरण के मूल α तथा β हैं।
हमें वह अभीष्ट द्विघात समीकरण ज्ञात करनी है जिसके मूल \(\frac { 1 }{ \alpha } \) तथा \(\frac { 1 }{ \beta } \) हैं।
अभीष्ट समीकरण
x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0
प्रश्न 20.
वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण lx² – 2mx + n = 0 का एक मूल दूसरे का P गुणा होता है।
हल-
दिया गया समीकरण
lx² – 2mx + n = 0
माना उपरोक्त समीकरण के मूल α तथा β हैं।
हमें वह प्रतिबन्ध ज्ञात करना है जिससे दिये गये समीकरण का एक मूल दूसरे का P गुणा है।
