RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 क्रमचय तथा संचय Ex 6.2

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 6 क्रमचय तथा संचय Ex 6.2

प्रश्न 1.
n का मान ज्ञात कीजिए, जबकि
(i) ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 11 : 1
(ii) ²⁰C_n-2 = ²⁰C_n+2
(iii) ⁿC₁₀ = ⁿC₁₅
हल-
(i) ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 11 : 1

⇒ 2n(2n – 1)(2n – 2) = 11. n(n – 1)(n – 2)
⇒ 2(4n² – 6n + 2) = 11(n² – 3n + 2)
⇒ 8n² – 12n + 4 = 11. n² – 33n + 22
⇒ 11n² – 33n + 22 – 8n² + 12n – 4 = 0
⇒ 3n² – 21n + 18 = 0
या n² – 7n + 6 = 0
या (n – 6)(n – 1) = 0
∴ n = 1, 6.
लेकिन n = 1 रखने पर ²ⁿC₃ और ⁿC₃ का मान निकालना सम्भव नहीं होगा इसलिए n = 6 होगा।

(ii) ²⁰C_n-2 = ²⁰C_n+2
हम जानते हैं ⁿC_x = ⁿC_y ⇒ x = y या x + y = n.
इस सूत्र का प्रयोग करते हुए
n – 2 + n + 2 = 20
⇒ 2n = 20
⇒ n = 10

(iii) ⁿC₁₀ = ⁿC₁₅
उपरोक्त सूत्र से n = 10 + 15 = 25

प्रश्न 2.
⁵⁰C₁₁ + ⁵⁰C₁₂ + ⁵¹C₁₃ – ⁵²C₁₃ का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
(⁵⁰C₁₂ + ⁵⁰C₁₁) + ⁵¹C₁₃ – ⁵²C₁₃
अब सूत्र ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r से
= ⁵¹C₁₂ + ⁵¹C₁₃ – ⁵²C₁₃
= (⁵¹C₁₃ + ⁵¹C₁₂) – ⁵²C₁₃
= ⁵²C₁₃ – ⁵²C₁₃ = 0

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC, CA पर क्रमशः 3, 4 तथा 5 बिन्दु हैं। इन बिन्दुओं से रचित कुल त्रिभुजों की संख्या कितनी होगी?
हल-
यहाँ पर समतल में कुल बिन्दुओं की संख्या होगी
= 3 + 4 + 5 = 12
किसी त्रिभुज को बनाने के लिए 3 बिन्दुओं की आवश्यकता होती है। इसलिए यदि 12 बिन्दुओं में से कोई भी तीन बिन्दु एक सरल रेखा में न हों तो 12 बिन्दुओं से ¹²C₃ त्रिभुज बन सकते हैं। किन्तु 3 बिन्दु एक सरल रेखा में होने के कारण ³C₃ त्रिभुज कम बनेंगे। इसी तरह से ⁴C₃ व ⁵C₃ त्रिभुज कम बनेंगे।
अतः त्रिभुज की अभीष्ट संख्या होगी।
= ¹²C₃ – (³C₃ + ⁴C₃ + ⁵C₃)
= 20 – (1 + 4 + 10)
= 20 – 15
= 5

प्रश्न 4.
एक सन्दूक में दो सफेद, तीन काली व चार लाल गेंदें हैं। इस सन्दूक से तीन गेंदें कितनी विधियों से निकाली जा सकती हैं, जिनमें कम से कम एक काली गेंद अवश्य हो ?
हल-
सन्दूक में कुल गेंदें = 2 + 3 + 4 = 9 जिनमें तीन काली तथा 6 अन्य गेंदें हैं।
अतः
स्थिति (i) जब एक काली व 2 अन्य गेंदें आयें तो कुल तरीके

स्थिति (ii) यदि दो काली व एक अन्य गेंद आये तो कुल तरीके

स्थिति (iii) यदि तीनों ही गेंदें काली आयें तो कुल तरीके
= ³C₃ = 1
इसलिए कुल तरीके (विधि) = 45 + 18 + 1 = 64

प्रश्न 5.
छः विभिन्न रंगों की झण्डयों से एक या अधिक लेकर कितने प्रकार से संकेत दिये जा सकते हैं ?
हल-
(i) एक झण्डी लेकर संकेत दिये जा सकते हैं = ⁶C₁ x 1
(ii) दो झण्डी लेकर संकेत दिये जा सकते हैं = ⁶C₂ x 2
(iii) तीन झण्डी लेकरे संकेत दिये जा सकते हैं = ⁶C₃ x 3
……………..
……………..
इसी तरह से छः झण्डी लेकर संकेत दिये जा सकते हैं।

प्रश्न 6.
किसी बहुभुज में विकर्णो की संख्या 44 हैं, तो उसकी भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-
n भुजाओं वाले बहुभुज में n शीर्ष हैं, तो इन शीर्षों में से दोदो को लेकर बनाये जाने वाले विकर्णो की संख्या ⁿC₂ होगी।

n = -8 असम्भव है चूँकि बहुभुज की भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए n = 11 होगा।

प्रश्न 7.
1, 2, 3, 4, 5, 6
हल :
दिये गये अंक = 1, 2, 3, 4, 5, 6
अंकों की संख्या = 6
अब हमें 6 अंकों में से चार अंक चुनकर संख्याएँ बनानी हैं तथा संख्याओं में अंक 4 व 5 का होना आवश्यक है।
अंक 4 व 5 चुनने के तरीके = 1
अब हमें 2 अंकों की आवश्यकता और है। अतः शेष 4 अंकों में से 2 अंक चुनने के तरीके = ⁴C₂ = 6.
अतः 6 में से 4 अंक चुनने के कुल तरीके = 6 x 1 = 6.
अब चुने गये 4 अंकों से 4 अंकों की संख्या बनाने के तरीके

अतः अभीष्ट संख्याएँ = 6 x 24 = 144

प्रश्न 8.
छः ‘+’ तथा चार ‘-‘ चिह्नों को एक सरल रेखा में कुल कितने प्रकार से रखा जा सकता है कि कोई भी दो ‘-‘ के चिह्न पास पास नहीं आते हों ?
हल-
छः ‘+’ चिह्न एक-एक स्थान छोड़कर एक तरीके से लिखे जा सकते हैं। अब इन चिह्नों के मध्य पाँच स्थान तथा सिरों पर दो स्थान खाली होंगे। अब इन सात स्थानों पर चार ‘-‘ चिह्न लिखने के तरीके

प्रश्न 9.
8 विद्यार्थियों और 5 प्राध्यापकों में से 5 विद्यार्थियों और 2 प्राध्यापकों की एक कॉलेज परिषद् बनानी है। इस प्रकार की कितनी विभिन्न परिषदें बन सकती हैं ?
हल-
8 विद्यार्थियों में से 5 विद्यार्थियों के चुनने के प्रकार = ⁸C₅
5 प्राध्यापकों में से 2 प्राध्यापकों के चुनने के प्रकार = ⁵C₂
अतः 8 विद्यार्थियों और 5 प्राध्यापकों में से 5 विद्यार्थियों और 2 प्राध्यापकों की एक कॉलेज परिषद् बनाने के लिए विभिन्न परिषदों की संख्या = ⁸C₅ x ⁵C₂
= 56 x 10
= 560

प्रश्न 10.
14 खिलाड़ियों में से क्रिकेट के लिए 11 खिलाड़ियों की एक टोली बनानी है, जिसमें कम से कम 2 गेंदबाज विद्यमान हों, जबकि केवल 4 खिलाड़ी ही गेंद फेंक सकते हैं। यह टोली कितने प्रकार से बनाई जा सकती है?
हल-
कुल खिलाड़ियों की संख्या = 14
कुल गेंदबाजों की संख्या = 4
उन खिलाड़ियों की संख्या जो गेंदबाजी नहीं कर सकते
= 14 – 4 = 10
एक क्रिकेट टीम 11 खिलाड़ियों की बनाने के लिए जिसमें कम से कम 2 गेंदबाज विद्यमान हों, निम्न प्रकार से चयन कर सकते
¹⁰C₉ × ⁴C₂ + ¹⁰C₈ × ⁴C₃ + ¹⁰C₇ × ⁴C₄
⇒ 10 × 6 + 45 × 4 + 120 × 1
⇒ 60 + 180 + 120
⇒ 360

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