RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 9 लघुगणक Ex 9.2

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 9 लघुगणक Ex 9.2

(इस प्रश्नमाला के उन प्रश्नों में जिनमें आधार नहीं दर्शाया गया। है उनमें लघुगणक को आधार 10 मान कर हल करना है।)

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए
log630 = log2 + 2log3 + log5 + log7.
हल-
R.H.S. = log2 + 2log3 + log5 + log7
= log2 + log(3)² + log5 + log7
∴ Nloga M = loga MN
= log2 + log9 + log5 + log7
नियम 1 को व्यापक रूप में प्रयोग करने पर
= log2 x 9 x 5 x 7
= log630
= L.H.S.

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए
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हल-
L.H.S.
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= log9 – log14 + log35 – log24 – {log15 – log16}
= log9 – log14 + log35 – log24 – log15 + log16
= log(3)² – log2 x 7 + log5 x 7 – log8 x 3 – log5 x 3 + log24
= 2log3 – {log2 + log7} + log5 + log7 – {log8 + log3} – {log5 + log3} + 4log2
= 2log3 – log2 – log7 + log5 + log7 – log8 – log3 – log5 – log3 + 4log2
= (2log3 – 2log3) + (4log2 – log2) + (log7 – log7) + (log5 – log5) – log8
= 0 + 3log2 + 0 + 0 – log(2)3
= 3log2 – 3log2
= 0
= R.H.S.

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए
log10 + log100 + log1000 + log10000 = 10
हल-
L.H.S. = log10 + log100 + log1000 + log10000
= log 10 + log(10)² + log(10) + log(10)4
= log10 + 2log10 + 3log10 + 4log10
∴ loga MN = N loga M
यहाँ पर आधार नहीं दर्शाया गया है इसलिए हम आधार को 10 मानकर हल करेंगे।
अर्थात् = log10 10 + 2log10 10 + 3log10 10 + 4log10 10
= 1 + 2 x 1 + 3 x 1 + 4 x 1
∵ log10 10 = 1
= 1 + 2 + 3 + 4
= 10
= R.H.S

प्रश्न 4.
यदि log2 = 0.3010, log3 = 0.4771, log7 = 0.8451 तथा log11 = 1.0414 तो निम्नलिखित को मान ज्ञात कीजिए-
(i) log36
(ii) log \(\frac { 42 }{ 11 }\)
(iii) log \({ \left( \frac { 11 }{ 7 } \right) }^{ 5 }\)
(iv) log70
(v) log \(\frac { 121 }{ 120 }\)
(vi) log51/3
हल-
(i) log36 = log4 x 9
= log4 + log9
= log(2)² + log(3)
= 2log2 + 2log3
मान रखने पर
= 2 x 0.3010 + 2 x 0.4771
= 0.6020 + 0.9542
= 1.5562

(ii) log \(\frac { 42 }{ 11 }\)
= log42 – log11
= log6 x 7 – log11
= log6 + log7 – log11
= log2 x 3 + log7 – log11
= log2 + log3 + log7 – log11
मान रखने पर
= 0.3010 + 0.4771 + 0.8451 – 1.0414
= 1.6232 – 1,0414
= 0.5818

(iii) log \({ \left( \frac { 11 }{ 7 } \right) }^{ 5 }\)
= 5log \(\frac { 11 }{ 7 }\)
∵ loga MN = N loga M
= 5[log11 – log7]
∵ log\(\frac { M }{ N }\) = loga M – loga N
= 5[1.0414 – 0.8451]
= 5 x 0.1963
= 0.9815

(iv) log70
= log10 x 7
= log10 + log7
= 1 + 0.8451 ∵ log10 10 = 1
= 1.8451

(v) log \(\frac { 121 }{ 120 }\)
= log121 – log120
= log(11)² – log12 x 10
= log(11)² – log2² x 3 x 10
= log(11)² – [log2² x 3 + log10]
= 2log11 – [2log2 + log3 + log10]
= 2log11 – 2log2 – log3 – log10
मान रखने पर
= 2 x 1.0414 – 2 x 0.3010 – 0.4771 – 1
= 2.0828 – 0.6020 – 0.4771 – 1
= 2.0828 – 2.0791
= – 0.0037

(vi) log(5)1/3
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प्रश्न 5.
निम्नलिखित समीकरण से r का माने ज्ञात कीजिए
logx4 + logx16 + logx64 = 12
हल-
logx4 + logx16 + logx64 = 12
= logx(2)2 + logx(2)4 + logx(2)6 = 12
= 2logx2 + 4logx2 + 6logx2 = 12
= 12logx2 = 12
या logx2 = 1
यो x1 = 2 अर्थात् x = 2

प्रश्न 6.
समीकरण log(x + 1) – log(x – 1) = 1 का हल ज्ञात कीजिए।
हल-
log(x + 1) – log(x – 1) = 1
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चूँकि यहाँ पर आधार 10 है इसलिए 1 के स्थान पर log1010 लिखने पर
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प्रश्न 7.
मान ज्ञात कीजिए-32-log34
हल
= 32-log34
= 32 .3-log34
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प्रश्न 8.
निम्नलिखित प्रश्नों का हल एक पद के रूप में लिखिए
(i) log2 + 1
(ii) log 2x + 2log x
हल-
(i) log2 + 1
यहाँ पर आधार नहीं दिया हुआ है इसलिए आधार को 10 लेना है।
∴ log2 + 1 = log10 2 + log10 10
= log10 2 x 10
= log10 20

(ii) log 2x + 2log x
log 2x + log(x)²
log 2x + log x²
log 2x . x²
= log 2x³

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए-
(i) log5 3. log3 4 . log2 5 = 2
(ii) loga x × logb y = logb x × loga y
हल-
(i) L.H.S. log5 3. log3 4. log2 5
⇒ log5 4. log2 5 ∵ logb a × loga b = 1
= log5 (2)². log2 5
= 2log5 2 . log2 5
= 2 × 1
= 2
= R.H.S.
∵ logb a × loga b = 1

(ii) L.H.S. loga x × logb y
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