RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 9 लघुगणक Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 9 लघुगणक Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
log√2x = 4 हो तो x का मान होगा-
(A) 4√2
(B) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
(C) 4
(D) 4 x √2
हल-
(C)

प्रश्न 2.
logx 243 = 2.5 हो तो x का मान होगा
(A) 9
(B) 3
(C) 1
(D) 81
हल-
(A)

प्रश्न 3.
log(1 + 2 x 3) का मान है
(A) 2 log 3
(B) log 1. log 2. log 3
(C) log 1 + log 2 + log 3
(D) log 7
हल-
(D)

प्रश्न 4.
log(m + n) का मान है
(A) log m + log n
(B) log mn
(C) log m x log n
(D) इनमें से कोई नहीं
हल-
(D)

प्रश्न 5.
logb a . logc b . loga c का मान है
(A) 0
(B) log abc
(C) 1
(D) log(ba . cb . ac)
हल-
(C)

प्रश्न 6.
यदि a > 1 तो loga 0 का मौन है
(A) – ∞
(B) ∞
(C) 0
(D) 1
हल-
(A)

प्रश्न 7.
यदि a < 0 तो loga 0 का मान है
(A) – ∞
(B) ∞
(C) 0
(D) 1
हल-
(B)

प्रश्न 8.
loga b का अन्य रूप है
(A) ab
(B) ba
(C) \(\frac { 1 }{ { log }_{ b }a } \)
(D) loga b
हल-
(C)

प्रश्न 9.
संख्या log2 7 है
(A) पूर्णांक
(B) परिमेय
(C) अपरिमेय
(D) अभाज्य
हल-
(C)

प्रश्न 10.
यदि a = log3 5 तथा b = log7 25 तब सही विकल्प है
(A) 1 < b
(B) a > b
(C) a = b
(D) इनमें से कोई नहीं
हल-
(A)

प्रश्न 11.
यदि log2 x + log2 y (x – 1) = 1 हो, तो x का मान लिखिए।
हल-
log2 x + log2 (x – 1) = 1
log2 x (x – 1) = 1
लघुगणक की परिभाषा से
⇒ x(x – 1) = 2¹ = 2
⇒ x² – x – 2 = 0
(x – 2) (x + 1) = 0
∴ x = 2, – 1
x का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है इसलिए x = 2

प्रश्न 12.
यदि log (a – b) = log a – log b हो, तो a का मान b के पदों में क्या होगा?
हल-
log(a – b) = log a – log b
= log(a – b)
= log\(\frac { a }{ b }\)
यहाँ पर दोनों तरफ लघुगणक का आधार 10 है जो कि दिया हुआ नहीं है।
a – b = \(\frac { a }{ b }\)
ab – b² = a
ab – a = b²
a(b – 1) = b² ∴ a = \(\frac { { b }^{ 2 } }{ b-1 } \)

प्रश्न 13.
यदि log
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हो, तो a, b तथा c में परस्पर सम्बन्ध बताइये ।
हल-
दिया है-
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सभी लघुगणकों को समान आधार e में बदलने पर
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सभी का मान रखने पर
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प्रश्न 14.
यदि log 2 = 0.3010 हो, तो log 200 का मान लिखिए।
हल-
दिया है- log 2 = 0.3010
तब log 200 = log 2 x 100
∴ log 200 = log 2 + log 100
यहां पर लघुगणक का आधार 10 है।
= log 200 = 0.3010 + 2 = 2.3010

प्रश्न 15.
log 0.001 का मान लिखिए।
हल-
log 0.001 = log\(\frac { 1 }{ 1000 }\) = log 1 – log 1000
यहाँ पर लघुगणक का आधार 10 है।
= 0 – 3 = – 3 या \(\overline { 3 } \)

प्रश्न 16.
यदि log 7 = 0.8451 और log 3 = 0.4771 हो, तो log(21)5 का मान लिखिए।
हल-
log(21)5 = 5 log 21
5 log 21 = 5 log 7 x 3
= 5[log 7 + log 3]
मान रखने पर
= 5[0.8451 + 0.4771]
= 5[1.3222]
= 6.611

प्रश्न 17.
log 6 + 2 log 5 + log 4 – log 3 – log 2 का मान लिखिये।
हल-
⇒ log 6 + 2 log 5 + log 4 – log 3 – log 2
⇒ log 2 x 3 + log 5² + log 4 – log 3 – log 2
⇒ log 2 + log 3 + log 25 + log 4 – log 3 – log 2
⇒ log 25 + log 4
लघुगणक का आधार समान है जो कि 10 है।
⇒ log10 25 x 4 = log10 100 = log10(10)²
⇒ 2 log10 10 = 2 x 1 = 2

प्रश्न 18.
यदि \(\frac { log144 }{ log12 }\) = log x हो, तो x का मान लिखिए।
हल-
यदि
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∴ log x = 2
यहाँ पर लघुगणक का आधार दिया हुआ नहीं है। इसलिए ।
आधार को 10 मानेंगे।
तब log10 x = 2
∴ x = (10)² = 100

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए-
log10 tan 1° + log10 tan 2° +…… + log10 tan 89° = 0
हल-
L.H.S. = log10 tan 1° + log10 tan 2° + …… + log10 tan 890
⇒ log10 (tan 1° . tan 2° . tan 3° …… tan 89°)
हम जानते हैं-
tan(90° – θ) = cot θ
∴ tan 1°= tan(90° – 89) = cot 89°
और tan θ . cot θ = 1 होता है।
∴ tan 1° . tan 2° . tan 3° ……. tan 89° = 1 होगा।
तब log10 1 = 0 = R.H.S.

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए-
log3 4 . log4 5 . log5 6 . log6 7. log7 8 . log8 9 = 2
हल-
सभी लघुगणकों को समान आधार e में बदलने पर
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सभी आपस में निरस्त हो जाते हैं, जो शेष बचा है वह इस प्रकार है
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= 2log3 3 = 2 x 1 = R.H.S.
अतः L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 21.
यदि log 52.04 = 1.7163, log 80.65 = 1.9066 और log 9.753 = 0.9891 हो, तो \(log\frac { 52.04\times 80.65 }{ 9.753 } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
\(log\frac { 52.04\times 80.65 }{ 9.753 } \)
log 52.04 x 80.65 – log 9.753
∵ \({ log }_{ a }\frac { M }{ N } ={ log }_{ a }M-{ log }_{ b }N\)
⇒ log 52.04 x 80.65 – log 9.753
∵ loga M x N = loga M + logb N
सभी के मान रखने पर
⇒ 1.7163 + 1.9066 – 0.9891
⇒ 3.6229 – 09891
⇒ 2.6338

प्रश्न 22.
यदि log 32.9 = 1.5172, log 568.1 = 2.7544 और log 13.28 = 1.1232 हो, तो \(log\frac { { \left( 13.28 \right) }^{ 3 } }{ 32.9\times 568.1 } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
\(log\frac { { \left( 13.28 \right) }^{ 3 } }{ 32.9\times 568.1 } \)
⇒ log(13.28)³ – log 32.9 x 568.1
∵ \({ log }_{ a }\frac { M }{ N } ={ log }_{ a }M-{ log }_{ b }N\)
⇒ log(13.28) – {log 32.9 + log 568.1}
∵ loga MN = N loga M
∵ loga M x N = loga M + logb N
= 3 log 13.28 – log 32.9 – log 568.1
सभी के मान रखने पर
3 x 1.1232 – 1.5172 – 2.7544
= 3.3696 – 4.2716 = – 0.9020
या -1 + 1 – 0.9020
या -1 + 0980
या \(\overline { 1 } .0980\)

प्रश्न 23.
यदि log 2 = 0.3010 और log 3 = 0.4771 हो, तो log(0.06)6 का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है.–log 2 = 0.3010. log 3 = 0.4771
तब log(0.06)6 = 6 log 0.06
6 log \(\frac { 6 }{ 100 }\) = 6[log 6 – log 100]
= 6[log 2 x 3 – log 100] = 6[log 2 + log 3 – log 100]
यहाँ पर सभी का आधार 10 है, जो कि समान है।
6[0.3010 + 0.4771 – 2]
= 6[0.7781 – 2]
= 6[-1.2219]
= – 7.3314
= – 7 – 0.3314
= – 7 . 1 + 1 – 0.3314
= – 8 + 0.6686 या \(\overline { 8 } .6686\)

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए
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हल-
R.H.S. = x(log y – log z) + (y – z)log x
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प्रश्न 25.
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को लघुगणक के योग और अन्तर के रूप में लिखिए।
हल-
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= log(11)3 – log(57 x 75)
= 3 log 11 – log 57 – log 75
= 3 log 11 – 7 log 5 – 5 log 7

प्रश्न 26.
(a) यदि antilog 1.5662 = 36.83 हो, तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(i) antilog \(\overline { 1 } .5662\)
(ii) antilog 2.5662
(iii) antilog \(\overline { 2 } .5662\)
(b) antilog (log x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
(a) दिया है- antilog 1.5662 = 36.83
(i) antilog \(\overline { 1 } .5662\) दी गई संख्या का भिन्नांश .5662 है जबकि antilog 1.5662 = 36.83 दिया गया है।
दी गई संख्या का पूर्णाश \(\overline { 1 } \) है अतः 1 – 1 = 0
अर्थात् antilog \(\overline { 1 } .5662\) = 0.3683 होगा।
(ii) दी गई संख्या का पूर्णाश 2 है। इसलिए antilog 2.5662 = 368.3 होगा।
∵antilog 1.5662 = 36.83 है ।
(iii) antilog \(\overline { 2 } .5662\) में दी गई संख्या को पूर्णाश \(\overline { 2 } \) है।
अतः 2 – 1 – 1
अर्थात् दशमलव बिन्दु के दायीं ओर एक शून्य लगाकर मान ज्ञात कर सकते हैं।
∵antilog 1.5662 = 36.83
antilog \(\overline { 2 } .5662\) = 0.03683

(b) antilog (log x) को मान x के बराबर होगा चूँकि लघुगणक की विपरीत क्रिया को प्रतिलघुगणक कहते हैं।

प्रश्न 27.
(17)½ ज्ञात कीजिए जबकि log 17 = 1.2304 और antilog 0.6152 = 4.123 हो।
हल-
माना (17)½ = x
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर
log(17)½ = log x
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\)log 17 = log x
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1.2304] = log x
∵ दिया है log 17 = 1.2304
⇒ 0.6152 = log x
log x = 0.6152
x = antilog(0.6152)
x = 4.123

प्रश्न 28.
log10 3 = 0.4771 हो तो log10 0.027 का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है- log10 3 = 0.4771
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मान रखने पर
= 3[0.4771 – 1] = 1.4313 – 3
= – 2 + 0.4313 = \(\overline { 2 } .4313\)

प्रश्न 29.
लघुगणक सारणियों के प्रयोग से
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का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
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⇒ log x = log 520.4 x log 8.065 – log 97.53
∵ \({ log }_{ a }\frac { M }{ N } ={ log }_{ a }M-{ log }_{ b }N\)
⇒ log x = log 520.4 + log 8.065 – log 97.53
∵ loga M x N = loga M + logb N
लघुगणक सारणी से सभी के मान रखने पर
⇒ log x = 2.7163 + 0.9066 – 1.9891
⇒ log x = 3.6229 – 1.9891 = 1.6338
∴ x = antilog(1.6338)
= 43.03

प्रश्न 30.
log x – log(x – 1) = log 3 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
log x – log(x – 1) = log 3
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∵ दोनों तरफ लघुगणक का आधार समान है, जो 10 है।
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