Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2
प्रश्न 1.
वक्रों y² = 2x तथा x² + y² = 8 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
अभीष्ट क्षेत्रफल चित्र में झांकित किया गया है।
वृत्त का समीकरण
x² + y² = 8 ……….(1)
परवलय का समीकरण
y² = 2x …….(2)
समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर,
x = – 4, 2
x = -4 के लिए) का मान √-8 प्राप्त होता है जो वास्तविक नहीं है। अतः x = 2 के लिए y का मान ± 2 होगा।
बिन्दु A के निर्देशांक (2,0), C के निर्देशांक (2, 2) तथा बिन्दु B के निर्देशांक (2√2, 0) हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = BCODB का क्षेत्रफल
= 2 x BCOAB का क्षेत्रफल
= 2[OACO का क्षेत्रफल + ABCA का क्षेत्रफल]
= 2[∫|y(परवलय के लिए)| dx + ∫|y (वृत्त के लिए)| dx]
प्रश्न 2.
परबलय 4y = 3x² का रेखा 3x – 2y + 12 = 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय 4y = 3x² तथा रेखा 2y = 3x + 12 एक-दूसरे को बिन्दुओं A(-2, 3) तथा B(4, 12) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल चित्र में छायांकित भाग हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = BOAB का क्षेत्रफल ।
= ∫y ( रेखा के लिए) dx – ∫y (परवलय के लिए) dx
प्रश्न 3.
वक्र \(y=\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } \), x = √3y ; तथा x-अक्ष के मध्य घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र \(y=\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } \) एक वृत्त है जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है तथा त्रिज्या 2 है।
वृत्त \(y=\sqrt { 4-{ x }^{ 2 } } \) तथा रेखा x = √3y को हल करने पर
⇒ x² = 3(4 – x²)
⇒ x² = 12 – 3x²
⇒ x² + 3x² = 12
⇒ 4x² = 12
⇒ x² = \(\frac { 12 }{ 4 }\) = 3
⇒ x = √3
अत: x का मान केवल धनात्मक लेने पर निम्न सीमा x = 0 तथा उच्च सीमा x = √3
रेखा x = √3y मूल बिन्दु तथा विन्दु (√3,1) से जाती हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल
= OQP का क्षेत्रफल + QAP का क्षेत्रफल
= ∫y(रेखा के लिए) dx + ∫y(वृत्त के लिए) dx
प्रश्न 4.
वृत्त x² + y² = 16 व रेखा y = x तथा x अक्ष के मध् यवर्ती प्रथम चतुर्थाश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त x² + y² = 16 का केन्द्र मूल बिन्दु तथा त्रिज्या 4 इकाई हैं।
रेखा y = x मूल बिन्दु से गुजरती है तथा वृत्ते को A बिन्दु पर काटती हैं।
तब x² + y² = 16 एवं y = x को हल करने पर
x = 2√2 प्राप्त होता है।
∴ A के निर्देशांक (2√2, 2√2), P के निर्देशांक (4, 0) तथा B के निर्देशांक (2√2, 0) हैं।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल AOBA + क्षेत्रफल ABPA
= 4 + 4π – 4 – 2π
= 2π वर्ग इकाई
प्रश्न 5.
परवलयों y² = 4x तथा x² = 4y के मध्यवर्ती उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए परवलयों के समीकरण
y² = 4x ……(1)
x² = 4y …(2)
को हल करने पर, इनके प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 0) तथा (4, 4) प्राप्त होते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OMAPO का क्षेत्रफल – क्षेत्र OMAQO का क्षेत्रफल
प्रश्न 6.
वक्र x² + y² = 1 व x + y = 1 के मध्यवर्ती प्रथम चतुर्थाश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए वृत्त x² + y² = 1 का केन्द्र भूल विन्दु से गुजरता है तथा त्रिया 1 है। x + y = 1 सरल रेखा का समीकरण है जो कि बिन्दुओं (1, 0) एवं (0, 1) से गुरजती है।
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल
प्रश्न 7.
वक्र y² = 4ax, रेखा y = 2a एवं y-अक्ष के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र y² = 4ax तथा रेखा y = 2a का अनुरेखण करने पर, चित्र में प्रदर्शित झयांकित भाग अभीष्ट क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है।
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल
प्रश्न 8.
वृत्त x² + y² = 16 के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय y² = 6x के बाहर हो।
हल :
दिये गये वृत्त x² + y² = 16 की त्रिज्या 4 इकाई है तथा यह मूल बिन्दु से गुजरता है। माना यह परवलय y² = 6x को P व Q पर प्रतिच्छेदित करता है, तब दोनों समीकरणों को हल करने पर,
x² + 6x = 16 ( ∵ y² = 6x )
x² + 6x – 16 = 0
x + 8x – 2 – 16 = 0
(x + 8) (x – 2) = 0
अत: x = – 8, + 2
यहाँ x का धनात्मक मान ही लेंगे।
अतः सीमा 0 तथा 2 और 2 तथा 4 लेंगे।
क्षेत्रफल POQSP
= 2 x क्षेत्रफल PORSP
= 2[क्षे. PORP + क्षे. PRSP]
प्रश्न 9.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(2, 0), B(4, 5) एवं C(6, 3) हैं।
हल :
चित्र में ∆ABC को छायांकित किया गया है।
∆ABC की भुजा AB का समीकरण,
या y = – x + 4 + 5
या y = – x + 9
AC का समीकरण,
∆ABC का क्षेत्रफल = ∆APB का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल – ∆AQC का क्षेत्रफल
प्रश्न 10.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी भुजाओं के समीकरण 3x – 2y + 3 = 0, x + 2y – 7 = 0 एवं x – 2y + 1 = 0 हैं।
हल :
दी गई रेखाएँ
3x – 2y + 3 = 0 …(1)
x + 2y – 7 = 0 …(2)
तथा x – 2y + 1 = 0 …(3)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
x = 1, y = 3
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर,
x = 3, y = 2
समीकरण (3) व (1) को हल करने पर,
x = – 1, y = 0
अब तीनों रेखाओं का ग्राफ खींचने पर,
अभीष्ट क्षेत्रफल
= क्षे. ABDCA – क्षे. CBDC
