Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.4
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए
प्रश्न 1.
(ey + 1) cos x dx + ey sin x dy = 0
हल :
दिया गया अवकल समीकरण
(ey + 1) cos x dx + ey sin x dy = 0
दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
या log sin x + log(ey + 1) = log C
या log (sin x(ey + 1)) = log C
या sin (ey + l) = C
ओं अवकलन समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 2.
(1 + x²) dy = (1 + y²) dx
हुल :
(1 + x²) dy = (1 + y²) dx
⇒ y – x = C(1 + xy)
यही अभीष्ट व्यापक हल है।
प्रश्न 3.
(x + 1)\(\frac { dy }{ dx }\) = 2xy
हल :
(x + 1)\(\frac { dy }{ dx }\) = 2xy
समाकलन करने पर
log y = 2x – 2log (x + 1)+C
log y = 2[x – log (x + 1)] + C
अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 4.
हल :
दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
जो अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 5.
(sin x + cos x)dy + (cos x – sin x)dx = 0
हल :
(sin x + cos x)dy + (cos x – sin x)dx = 0
समाकलन करने पर,
⇒ y + log (cos x + sin x) = log C
⇒ log ey + log (cos x + sin x) = log C
⇒ ey + (sin x + cos x) = C
जो अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 6.
हल :
y = e3x + c
जो अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 7.
sec² x tan ydy + sec² y tan xdx = 0
हल :
sec² x tan ydy + sec² y tan xdx = 0
⇒ sec² x tan ydy = – sec² y tan xdx
⇒ sin y cos y dy + sin x cos x dx = 0
⇒ sin² x + sin²y = 2C1
⇒ sin² x + sin² y = C
प्रश्न 8.
हल :
(sin y + y cos y) dy = x (2 log x + 1) dx
⇒ ∫sin ydy + ∫ycos ydy = 2 ∫xlog xdx + ∫xdx
⇒ -cos y + y sin y – ∫1.sin ydy
⇒ -cos y + y sin y + cos y = x²log x – ∫xdx + ∫xdx
⇒ y sin y = x² log x + C
यहीं अभीष्ट व्यापक हल है।
प्रश्न 9.
(1 + cos x) dy = (1 – cos x) dx
हल :
(1 + cos x) dy = (1 – cos x) dx
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
यही अवकल समीकरण का व्यापक हुल है।
प्रश्न 10.
हल :
यहीं अवकल समीकरण का व्यापक हल है।