Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.3
प्रश्न 1.
सदिशों
तथा
का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना
अतः सदिशों
तथा
को सदिश गुणनफल
है।
प्रश्न 2.
सदिशों
तथा
के लम्ब इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
माना
अब \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) के लम्ब इकाई सदिश
अतः सदिशों
तथा
के लम्ब इकाई सदिश का मान
है।
प्रश्न 3.
सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) के लिए सिद्ध कीजिए कि
हल :
माना सदिशों में \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ है,
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए :
हल :
प्रश्नानुसार,
इति सिद्धम्
प्रश्न 5.
यदि \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) इस प्रकार के इकाई सदिश हैं कि \(\vec { a } \cdot \vec { b } =\vec { a } \cdot \vec { c } \) तथा \(\vec { b } \) और \(\vec { c } \) के मध्य का कोण \(\frac { \pi }{ 6 } \) है, तब सिद्ध कीजिए कि
हल :
दिया है :
प्रश्न 6.
का मान ज्ञात कीजिए, यदि
तथा
हल :
हम जानते हैं कि यदि \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) दो सदिश है तथा उनके बीच का कोण θ हो, तो
प्रश्न 7.
सदिशों
तथा
के लम्बवत् 9 इकाई परिमाण वाला सदिश ज्ञात कीजिए।
पर लम्बवत् है, वह
है।
हल :
वह सदिश जिसका परिमाण 9 है तथा जो \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) दोनों के लम्बवत् हैं।
प्रश्न 8.
प्रदर्शित कीजिए कि
इसकी ज्यामितीय व्याख्या भी कीजिए।
हल :
बायाँ पक्ष (L.H.S.)
ज्यामितीय व्याख्या : माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। माना मूलबिन्दु A के सापेक्ष बिन्दुओं B तथा D के स्थिति सदिश
भुजाएँ लेकर बनाए गए समान्तर चतुर्भुज का सदिश क्षेत्रफल = 2(समान्तर चतुर्भुज ABCD को सदिश क्षेत्रफल) इस प्रकार हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ एक दिए हुए समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण हैं, दिए हुए समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का दो गुना होता है।
इति सिद्धम्
प्रश्न 9.
किसी भी सदिश \(\vec { a } \) के लिए सिद्ध कीजिए कि .
हल :
प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ सदिश
तथा
से निरूपित हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल
अतः त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिमाण
अत:त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 5 }{ 2 } \sqrt { 5 } \) वर्ग इकाई।