Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Miscellaneous Exercise
प्रश्न 1.
निम्न में से कौन-सा समूह एक रेखा की दिक् कोज्याएँ नहीं है।
(a) 1, 1, 1
(b) 0, 0, – 1
(c) – 1, 0, 0
(d) 0, – 1, 0
हल :
उत्तर (a) सही है क्योंकि रेखा की दिक-कोज्यायें उसके दिक-अनुपातों के समानुपाती होती हैं। अतः माना a, b, c इसके दिक्-अनुपात हैं तो प्रश्नानुसार
अतः समूह (1, 1, 1) दिक् कोज्याएं नहीं है। उत्तर
प्रश्न 2.
बिन्दु P समष्टि में इस प्रकार है कि OP = 6 तथा \(\overline { OP } \), OX तथा OY-अक्षों के साथ क्रमशः 45° वे 60° के कोण बनाता है। तो P का स्थिति सदिश होगा :
हल :
माना P का स्थिति सदिश xi + yj + zk
r = |\(\overrightarrow { OP } \)| = xi + yj + zk
जहाँ
x = r cos α
y = r cos β
z = r cos γ
परन्तु x² + y² + z² = (cos² α + cos² β + cos² γ)
∴ सही विकल्प (c) है।
प्रश्न 3.
घन के दो विकर्षों के मध्य का कोण होगा :
हल :
भुजा a के घन की तीन संलग्न कोरों OA, OB, OR को निर्देशाक्ष लेने पर घन के शीर्षों के निर्देशांक निम्न हैं :
O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), R(0, 0, a), D(a, a, 0), K(a, 0, a), L(0, a, a), P(a, a, a)
विकर्ण OP की दिक्-कोज्याएँ (direction-cosines) (a – 0, a – 0, a – 0) अर्थात् (a, a, a) के समानुपाती हैं।
अतः OP की दिक्-कोज्याएँ
इसी प्रकार AL, BK तथा RD की दिक्-कोज्याएँ क्रमशः इस प्रकार हैं :
प्रश्न 4.
सदिश 3i की दिक् कोज्याएं होगी :
(a) 3, 0, 0
(b) 1, 0, 0
(c) – 1, 0, 0
(d) – 3, 0, 0
हल :
दिया है सदिश \(\vec { a } \) = 3i + 0j + 0k
जिसके दिक्-अनुपात 3, 0, 0 है।
अतः दिक्-कोज्यायें
अर्थात् 1, 0, 0
अतः सही विकल्प (b) है।
प्रश्न 5.
सरल रेखा
का सदिश रूप होगा
(a) (3i + 4j – 7k) + λ( – 2i – 5j + 13k)
(b) ( – 2 – 5j + 13k) + λ(3i + 4j – 7k)
(c) ( – 3i – 4j + 7k) + λ( – 2i – j + 13k)
(d) इनमें से कोई नहीं ।
हल :
रेखा
बिंदु A(3, 4, – 7) से गुजरती है।
अतः बिंदु A का स्थिति सदिश
\(\vec { a } \) = 3i + 4j – 7k
दी हुई रेखा के दिक्-अनुपात – 2, – 5, 13 है।
∴ \(\vec { b } \) = – 2i – 5j + 13k
अत: अभीष्ट रेखा का समीकरण
\(\vec { r } \) = \(\vec { a } \) + λ.\(\vec { b } \)
= (3i + 4j – 7k) + λ( – 2i – 5j + 13k)
अतः उत्तर का सही विकल्प (a) है।
प्रश्न 6.
रेखाएँ
तथा
परस्पर लम्बवत् हो तो I का मान होगा
(a) 0
(b) 1
(c) – 1
(d) 2
हल :
दी हुई रेखा
की दिक्-कोज्यायें
l1 = 1, m1 = 1, n1 = – 1 तथा रेखा
दिक्-कोज्यायें l2, = – λ, m2 = + 2 तथा n2 = 1 हैं।
∵ रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं अतः
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
1 x – λ + 1 x + 2 + ( – 1) x 1 = 0
– λ + 21 – λ = 0
+ λ – λ = 0
λ = 1
अतः उत्तर का सही विकल्प (b) है।
प्रश्न 7.
रेखाओं \(\vec { r } \) = (5i + 7j + 3k) + λ(5i – 16j + 7k) तथा \(\vec { r } \) = (9i + 13j + 15k) + µ(3i + 8j – 5k) के मध्य लघुत्तम दूरी
(a) 10 इकाई
(b) 12 इकाई
(c) 14 इकाई
(d) 7 इकाई
हल :
अत: उपरोक्त विकल्प में कोई विकल्प सही नहीं है। उत्तर
प्रश्न 8.
रेखा
तथा समतल
के मध्य कोण होगा :
हल :
हम जानते हैं कि रेखा \(\vec { r } =\vec { a } +\lambda \vec { b } \) और \(\vec { r } \cdot \vec { n } =\vec { d } \) समतल के मध्य कोण
अतः सही विकल्य (a) है।
प्रश्न 9.
समीकरण lx + my + nz = p समतल का अभिलम्ब रूप है तो निम्न में से असत्य है।
(a) l, m, n समतल के अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ हैं।
(b) p, समतल की मूल बिन्दु से लम्बवत् दूरी है।
(c) p के प्रत्येक मान के लिए समतल मूल बिन्दु से गुजरता है।
(d) l² + m² + n² = 1
हल :
परिभाषा से कथन (a) तथा (d) सत्य है।
∴ कथन (c) असत्य है क्योंकि समतल की मूलबिन्दु से दूरी p है।
जिसके सिर्फ p = 0 पर समतल ही मलबिन्दु से गुजर सकता है।
p के अन्य किसी मान के लिये नहीं।
प्रश्न 10.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B, C इस प्रकार मिलता है कि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (1, 2, 3) है, तो समतल का समीकरण होगा
हल :
माना समतल का समीकरण \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } +\frac { z }{ c } =1\), जो निर्देशांक्ष को बिन्दु A(a, 0, 0), B(0, b, 0) तथा C(0, 0, c) पर मिलता है, तब ∆ABC का केन्द्रक \(\left( \frac { a }{ 3 } ,\frac { b }{ 3 } ,\frac { c }{ 3 } \right) \) होगा।
अत: सही विकल्प (d) है।
प्रश्न 11.
दो बिन्दुओं के स्थिति सदिश क्रमशः
तथा
है। Q से गुजरने वाले तथा PQ के लम्बवत् समतल का समीकरण होगा।
हल :
प्रश्नानुसार,
उत्तर का सही विकल्प (c) है।
प्रश्न 12.
दो रेखाओं की दिक्-कोज्याएँ निम्न सम्बन्धों द्वारा दी गई है, उन्हें ज्ञात कीजिए।
l – 5m + 3n = 0 तथा 7l² + 5m² – 3n² = 0
हल :
l – 5m + 3n = 0 तथा 7l² + 5m² – 3n² = 0
दिया है
l – 5m + 3n = 0 …(1)
7l² + 5m² – 3n² = 0 …(2)
समीकरण (1) से, l = 5m – 3n को समीकरण (2) में रखने पर,
7(5m – 3n)² + 5m² – 3n² = 0
7(25m² + 9n² – 30mn) + 5m² – 3n² = 0
175m² + 63n² – 210mn + 5m² – 3n² = 0
180m² – 210mn + 60m² = 0
6m² – 7mn + 2n² = 0
6m² – 4mn – 3mn + 2n² = 0
2m(3m – 2n) – n(3m – 2n) = 0
(3m – 2n)(2m – n) = 0
3m = 2n और 2m = n
प्रश्न 13.
एक रेखाखण्ड का अक्षों पर प्रक्षेप – 3, 4, – 12 है। रेखा खण्ड की लम्बाई तथा दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
अक्षों पर प्रक्षेप – 3, 4, – 12 है जो रेखा के दिक्-अनुपात होते हैं। अतः दिक् कोज्यायें l, m, n हों, तो
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दुओं (a, b, c) और (a’, b’, c’) को मिलाने वाली रेखा मूल बिन्दु से गुजरती है। यदि aa’ + bb’ + cc’ = pp’ जहाँ p और p’ इन बिन्दुओं की मूल बिन्दु से दूरियाँ हैं।
हल :
प्रश्नानुसार, बिन्दु (a, b, c) तथा (a’, b’, c’) की मूल बिन्दु से दूरी
बिन्दु (a, b, c) तथा बिन्दु (a’, b’, c’) से जाने वाली रेखा का समीकरण
प्रश्न 15.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु P( – 2, 1, 2) से गुजरता है एवं दो सदिशों
तथा
के समान्तर है।
हल :
समतल बिन्दु P( – 2, 1, 2) से गुजरता है।
अतः समतल का समीकरण a(x + 2) + b(y – 1) + c(z – 2) = 0
अतः ax + by + cz ≠ 0 में
a(-1) + b(2) + c(-3) = 0
⇒ – a + 2b – 3c = 0 ….(2)
तथा a(5) + b(-1) + c(1) = 0
⇒ 5a – b + c = 0 …(3)
समी. (2) से a – 2b + 3c = 0
समी. (3) से 5a – b + c = 0
हल करने पर
⇒ a = k, b = 14k, c = 9k
∴वांछित समीकरण
a(x + 2) + b(y + 1) + c(z – 2) = 0 से
k(x + 2) + 14k(y + 1) + 9k(z – 2) = 0
x + 2 + 14y – 14 + 9z – 18 = 0
x + 14y + 9z = 30