Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Ex 16.1
प्रश्न 1.
यदि P(A) = \(\frac { 7 }{ 13 }\), P(B) = \(\frac { 9 }{ 13 }\) और P(A∩B) = \(\frac { 4 }{ 13 }\) हो, तो \(P\left( \frac { A }{ B } \right) \) ज्ञात करो।
हल :
हम जानते हैं कि
प्रश्न 2.
यदि P(B) = 0.5 और P(A∩B) = 0.32 हो तो \(P\left( \frac { A }{ B } \right) \) ज्ञात करो।
हल :
प्रश्न 3.
यदि 2P(A) = P(B) = \(\frac { 5 }{ 13 }\) और \(P\left( \frac { A }{ B } \right) =\frac { 2 }{ 5 } \) हो तो P(A∪B) ज्ञात करो।
हल :
प्रश्न 4.
यदि P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 और P(A∩B) = 0.2 हो तो \(P\left( \frac { A }{ B } \right) \) तथा \(P\left( \frac { B }{ A } \right) \) ज्ञात करो।
हल :
प्रश्न 5.
यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और \(P\left( \frac { B }{ A } \right) \) = 0.4 हो तो ज्ञात करो
हल :
(iii) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 0.8 + 0.5 – 0.32
= 1.3 – 0.32
= 0.98
प्रश्न 6.
एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि दोनों बच्चों में से कम से कम एक बच्च लड़का है तो दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
एक परिवार वमें कम से कम एक बच्चा लड़का होने के लिए
A = {BB, BG, GB}
दोनों बच्चे लड़का होने के लिये
B = {B, B}
प्रतिदर्श समष्टि S = {BB, BG, GB, GG}
∴ A∩B = {B, B}
∴ n(A) = 3
प्रश्न 7.
दो सिक्कों को एक बार उछाला गया हैं। इस प्रयोग से संबंधित घटनाओं A व B को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है तो \(P\left( \frac { A }{ B } \right) \) ज्ञात कीजिए।
(i) A : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है; B : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
(ii) A : कोई पट प्रकट नहीं होता है; B : कोई चिंत प्रकट नहीं होता
हल :
(i) दो सिक्कों की एक बार उछालने की समष्टि
S = {HH, HT, TH, TT}
A = एक सिक्के पर पट प्रकट होता है
= {TH, HT}
तथा B = एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
= {HT, TH}
∴ A∩B = {HT, TH}
∴ n(A∩B) = 2
n(S) = 4
प्रश्न 8.
एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र यादृच्छया सीधी रेखा में खड़े है। इससे सम्बद्ध घटनाओं A व B को निम्न प्रकार परिभाष्नित किया गया है तो \(P\left( \frac { A }{ B } \right) \) ज्ञात करो यदि
A : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है, B : पिता मध्य में खड़े है।
हल :
माना माता (M), पिता (F) तथा पुत्र S यादृच्छया खड़े हैं।
∴ तीनों के खड़े होने की कुल विधियाँ = 3
A = पुत्र एक सिरे पर खड़ा है = 3 x 2 x 1 = 6
A = {(SMF), (SFM), (FMS), (MFS)}
B = पिता मध्य में खड़े हैं।
= {(M, F, S), (S, F, M)}
∴A∩B = {(M, F, S), (S, F, M}}
प्रश्न 9.
एक न्याय्य पासे की उछाला गया है। घटनाओं A = {1, 3, 5}, B = {2, 3} और C = {2, 3, 4, 5} के लिये निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
हल :
(i) पासे को उछालने पर कुल परिणाम = 6
A = {1, 3, 5}, B = {2, 3}
∴ A∩B = {3}
(ii) दिया है : A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4, 5}
∴ A∩C = {3, 5}
(iii) दिया है, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3}, C = {2, 3, 4, 5}
∴ A∩C = {3, 5}, B∩C = {2, 3}, A∩B = {3}
(A∩B)∩C = {3}
प्रश्न 10.
यह दिया गया है कि पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
माना E = विभिन्न संख्या रखता है।
F = योग 4 है = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
प्रश्न 11.
एक बक्से में दस कार्ड 1 से 10 तक लिखकर रखे गये हैं और उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया है। इस बक्से में से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया है। यदि यह ज्ञात हो कि निकाले गये कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तो इस संख्या के सम होने की क्या प्रायिकता
हल :
मान लीजिए कि A घटना निकाले गए कार्ड पर सम संख्या है’ और B घटना निकाले गये कार्ड पर संख्या 3 से बड़ी है’ को निरूपित करते हैं। यहाँ हमें P(A/B) ज्ञात करना है।
इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि निम्न है
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
तब A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
तथा A∩B = {4, 6, 8, 10}
प्रश्न 12.
एक विद्यालय में 1000 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 430 लड़कियाँ हैं। यह ज्ञात है कि 430 में से 10% लड़कियाँ कक्षा XI में पढ़ती हैं। क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा XI में पढ़ता है। यदि यह ज्ञात है कि चुना गया विद्यार्थी लड़की है।
हल :
मान लीजिए A घटना ‘यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा XI में पढ़ता है और B घटना ‘यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी लड़की है’ को व्यक्त करते हैं। यहाँ हमें P(A/B) ज्ञात करना है।
अब P(B) = \(\frac { 430 }{ 1000 }\) = 0.43
यहाँ 10% लड़कियाँ कक्षा XI में पढ़ती हैं।
∴ कक्षा XI में पढ़ने वाली लड़कियों की संख्या
प्रश्न 13.
एक पासे को दो बार उछाला गया और प्रकट हुई संख्याओं का योग 6 पाया गया। संख्या 4 के न्यूनतम एक बार प्रकट होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि घटना ‘संख्या 4 का न्यूनतम एक बार प्रकट होना’ और B दोनों पासों पर प्रकट संख्याओं का योग 6 होने के दर्शाते हैं,
तब A = {{4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), ( 1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)
और B = {{1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1}}
हम जानते हैं कि
प्रश्न 14.
एक सिक्के को उछालने के परीक्षण पर विचार कीजिए यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो सिक्के को पुनः उछालिए परंतु यदि सिक्के पर पट प्रकट हो, तो एक पासा फेंकिए। यदि घटना ‘कम से
कम एक पट प्रकट होना’ का घटित होना दिया गया है, तो घटना ‘पासे पर 4 से बड़ी संख्या प्रकट होना की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
परीक्षण की परिणामों को निम्न चित्र में व्यक्त किया जा सकता है इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि है :
S = {(H, H), (H, T), T(, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (7, 5), (7, 6)}
जहाँ (HH) दर्शाता है कि दोनों उछालों पर चित प्रकट हुआ है तथा (T, i) दर्शाता है कि पहली उछाल पर प्रकट हुआ है और पासे को फेंकने पर i प्रकट हुई है।
अत: 8 मौलिक घटनाओं (H, H), (H, T), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) की क्रमशः प्रायिकताएँ
जैसा कि पाश्र्व चित्र में दर्शाया गया है। मान लीजिए कि B घटना ‘न्यूनतम एक पट प्रकट होना’ और A घटना ‘पासे पर 4 से बड़ी संख्या प्रकट होना’ को दर्शाते हैं।
तब B = {(H, T), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}
∴ P(B) = P[{(H, T}}] + P[(T, 1)}} + P[{T, 5)}] + P[{(T, 6}}]
