RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
यदि
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 1
हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 2
|A| = 5 ≠ 0
अतः A-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
a11 = 3, a12 = – 2, a21 = 1, a22 = 1
आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 3
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 4

प्रश्न 2.
यदि
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 5
हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 6
= 0(0 – 1) – 1(0 – 1) + (1 – 0).
= 0 + 1 + 1
|A| = 2 ≠ 0
अतः A-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 7
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 8

प्रश्न 3.
यदि आव्यह
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एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 10
∵ आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब
|A| = 0
1( – 6 – 2) + 2( – 3 – x) + 3(2 – 2x) = 0
– 8 – 6 – 2x + 6 – 6x = 0
– 8 – 8x = 0
– 8x = 8.
x = \(\frac { 8 }{ -8 }\)
x = -1

प्रश्न 4.
क्रेमर नियम का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय हल कीजिए।
(i) 2x – y = 17
x + 5y = 6
(ii) 3x + ay = 4
2x + ay = 2, a ≠ 0
(iii) x + 2 + 3z = 6
2x + 4y + z = 7
3x + 2y + 9z = 14
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = 17
3x + 5y = 6
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 11
अतः समीकरण निकाय का हल x = 7, y = – 3

(ii) दिया गया समीकरण निकाय
3x + ay = 4
2a + y = 2, a ≠ 0
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 12
अत: समीकरण निकाय का हल x = 2, y = \(-\frac { 2 }{ a }\)

(iii) दिया गया समीकरण निकाय
x + 2 + 2x = 6
2x + 4y + 2 = 7
3x + 2y + 9z = 14
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 13
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 14
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 15
अत: समीकरण निकाय का हल x = 1, y = 1, z = 1.

प्रश्न 5.
क्रेमर नियम का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत है।
(i) 2x – y = 5
4x – 2y = 7
(ii) x + y + z = 1 ,
x + 2y + 3z = 2
3x + 4y + 5y = 3
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = 5
4x – 2y = 7
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 16
∵ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0 तथा ∆2 ≠ 0
अतः समीकरण निकाय संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण निकाय
x + y + z = 1
x + 2y + 3z = 2
3x + 4y + 3z = 3
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 17
∵ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0, ∆2 ≠ 0 तथा ∆3 ≠ 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय असंगत है।

प्रश्न 6.
एक द्वितीय क्रम की आव्यूह A ज्ञात कीजिए :
जहाँ
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हल :
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प्रश्न 7.
यदि
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हो, तो सिद्ध कीजिए कि
A² + 4A – 42I = 0 तथा इसकी सहायता से A-1 भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह
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प्रश्न 8.
यदि
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हो, तो सिद्ध कीजिए कि \({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 19 } A\)
हुल :
दिया गया आव्यूह.
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प्रश्न 9.
यदि
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हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि A-1.A = I3
हल :
दिया गया आव्यूह
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अत: A-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
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प्रश्न 10.
यदि
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हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 4A – 5I = 0 तत्पश्चात् इसकी सहायता से A-1 भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,
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A² = A.A
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प्रश्न 11.
आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए :
(i) 5x – 7y = 2
7x – 5y = 3
(ii) 3x + y + z = 3
2x – y – z = 2
– x – y + z = 1
(iii) x + 2y – 2z + 5 = 0
– x + 3y + 4 = 0
– 2y + z – 4 = 0
हुल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
5x – 7y = 2
7x – 5y = 3
इसे आव्यूह रूप में लिखने पर
AX = B…..(i)
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(ii) दिया गया समीकरण निकाय
3x + y + z = 3
2x – y – z = 2
– x – y + z = 1
इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर
AX = B
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अतः A-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
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(iii) दिया गया समीकरण निकाय ।
x + 2y – 2z + 5 = 0
– x + 3y + 4 = 0
– 2y + z – 4 = 0
समीकरण निकाय को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं,
x + 2y – 2z = – 5
-x + 3y = – 4
– 2y + z = 4
इसी समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर ।
AX = B …(i)
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प्रश्न 12.
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि शीर्ष निम्नलिखित हों :
(i) A(-3, 5), B(3,- 6), C(7, 2)
(ii) A(2, 7), B(2, 2), C(10, 8)
हल :
(i) त्रिभुज ABC के शीर्ष
A = (-3, 5), B = (3, -6), C = (7, 2)
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ∆
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प्रश्न 13.
यदि बिन्दु (2,-3), (λ,-2) तथा (0, 5) संरेख हो, तो λ. का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए बिन्दु (2,-3), (λ, -2) तथा (0, 5) संरेख हैं, तब
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 45
⇒ 2( – 2 – 5) + 3(λ – 0) + 1(5λ – 0) = 0
⇒ – 14 + 3λ + 5λ = 0
⇒ 8λ = 14
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प्रश्न 14.
आव्यूह A ज्ञात कीजिए जबकि :
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हल :
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प्रश्न 15.
यदि
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हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए
x + y + z = 2, x + 2y – 3z = 13, 2x – y + 3z = -7.
हल :
दिया है,
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= 1(6 – 3) – 1(3 + 6) + 1( – 1 – 4)
= 3 – 9 – 5
अतः |A| = – 11 ≠ 0
अतः A-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
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RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 53
अतः x = 1, y = 3, z = – 2.

प्रश्न 16.
यदि
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हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि aA-1 = (a² + bc + 1)I – aA.
हल :
दिया गया आव्यूह,
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प्रश्न 17.
सारणिक की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए—
x + y + z = 1
ax + by + cz = k
a²x + b²y + c²z = k²
हल
दिया गया समीकरण निकाय
x + y + z = 1
ax + by + cz = k
a²x + b²y + c²z = k²
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RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 59
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प्रश्न 18.
यदि
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 61
हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए ।
x + 2y – 3z = – 4, 2x + 3y + 2z = 2, 3x – 3y – 4z = 11
हल :
दिया है,
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= 1( -12 + 6) – 2(- 8 – 6) – 3( – 6 – 9)
= – 6 + 28 + 45 = 67 ≠ 0
अत: A-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
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RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 64
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 65
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 66
अतः x = 3, y = – 2, z = 1.

प्रश्न 19.
यदि
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Additional Questions 67
हो, तो X ज्ञात कीजिए।
हल :
माना
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प्रश्न 20.
निम्नलिखित समीकरण निकाय के अनन्त हल हो, तो a तथा b का मान ज्ञात कीजिए-
2x + y + az = 4
bx – 2y + z = – 2
5x + 5y + z = – 2
हल :
दिया गया समीकरण निकाय
2x + y + az = 4
bx – 2y + z = – 2
5x + 5y + z = – 2
∵ समीकरण निकाय के अनन्त हल है, तब ∆ = 0, ∆1 = 0, ∆2 = 0 तथा ∆3 = 0 होगा।

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