RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Ex 5.1

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Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Ex 5.1

प्रश्न 1.
x के किस मान के लिए आव्यूह

अव्युत्क्रमणीय है।
हल :
दिया है कि आव्यूह

अव्युत्क्रमणीय है।
तब

⇒ 1(6 – 2) + 2(3 – x) + 3(2 – 2x) = 0
⇒ 4 + 6 – 2x + 6 – 6x = 0
⇒ – 8x = – 16
⇒ x = \(\frac { 16 }{ 8 }\)
अतः x = 2

प्रश्न 2.
यदि आव्यूह

हो, तो adj•A ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि A(adj•A) = |A|I₃ = (adj•A)A.
हल :
दिया गया आव्यूह,

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह,


अतः A.(adj.A) = |A|I₃ …(ii)
(i) व (ii) से,
A(adj A) = |A|I₃ = (adjA) A
इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रमणीय आव्यूह ज्ञात कीजिए :

हल :
(i) दिया गया आव्यूह

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह

(ii) दिया गया आव्यूह

| A | = 1(16 – 9) – 3(4 – 3) + 3(3 – 4)
= 7 – 3 – 3
|A | = 1 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A सहखण्डों से बना आव्यूह B

(iii) दिया गया आव्यूह

| A | = 0( – 12 + 12) – 1(16 – 12) – 1( – 12 + 9)
= 0 – 4 + 3
| A | = -1 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह

प्रश्न 4.
यदि आव्यूह

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि :
(i) A^-1 A = I₃
(ii) A^-1 = F( – α)
(iii) A(adjA) = |A|I = (adjA).A
हल :
दिया है आव्यूह

|A| = cos α (cos α – 0) + sin α (sin α – 0) + 0(0 – 0)
= cos² α + sin² α
| A | = 1 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह

प्रश्न 5.
यदि

तो सिद्ध कीजिए कि A^-1 = A^T
हल :
माना कि

प्रथम पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर

= – 8(16 + 56) – (16 – 7) + 4( – 32 – 4)
= – 8.72 – 9 – 4.36
= – 9(64 + 1 + 16)
= – 9 × 81
= – 9³


अतः (iii) और (iv) से स्पष्ट है कि
A^-1 = A^T
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
यदि आव्यूह

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A^-1 = A³
हल :
दिया गया आव्यूह,

अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
a₁₁ = – 1, a₁₂ = – 2, a₂₁ = 1, a₂₂ = 1
आव्यूह A के सहखण्डों के बना आव्यूह

समीकरण (i) व (ii) से,
A^-1 = A³.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
यदि

तथा

हो, तो (AB)^-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह

तब |A| = 5(3 – 4) – 0(2 – 2) + 4(4 – 3)
= – 5 – 0 + 4
|A| = – 1 ≠ 0 .
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह

प्रश्न 8.
यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि

हल :
दिया गया आव्यूह

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह

समीकरण A² – 6A + 17I = 0 को सन्तुष्ट करता है तथा A^-1 भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह

अत: दिया गया आव्यूह समीकरण A² – 6A + 17I = 0 को सन्तुष्ट करता है।
अब A² – 6A + 17I = 0
⇒ = A² – 6A = – 17I
⇒ A^-1 (A² – 6A) = – 17A^-1I
⇒ [A^-1 का दोनों पक्षों में वाम गुणन करने पर]
⇒ A^-1A² – 6A^-1A = – 17A^-1 [∴A^-1I = A^-1]
⇒ A – 6I = – 17A^-1 [∴A^-1A = I]

प्रश्न 10.
यदि आव्यूह

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² + 4A – 42I = 0 तत्पश्चात् A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,

अब A² + 4A – 42I

अतः दिया गया आव्यूह समीकरण A² + 4A – 42I = 0 को सन्तुष्ट करता है।
अब A² + 4A – 42I= 0
A² + 4A = 42I
A^-1 (A² + 4A) = 42A^-1I
(A^-1 का दोनों पक्षों में गुणा करने पर)।

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