RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
यदि फलन f(x) = \(\frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } \). x = 3 पर संतत है तो f(3) का मान होगा :
(a) 6
(b) 3
(c) 1
(d) 0
हल :
f(x) = \(\frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } \)
दाँय सीमा (RHL.)

फलन x = 3 पर संतत है इसलिए
f(3) = f(3 + 0)
f(3) = 6
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
यदि

x = 0 पर संतत है तब m का मान होगा :
(a) 3
(b)
(c) 1
(d) 0
हल :

= 3 × 1
= 3
फलन x = 0 पर संतत है इसलिए
f(0) = f(0 + 0)
m = m
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.
यदि

बिन्दु x = 0 पर सतत है, तब k का मान होगा :
(a) 0
(b) m + n
(c) m – n
(d) m.n
हल :
∴ फलन x = 0 पर सतत है।

⇒ m + n = λ
⇒ λ = m + n
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.
यदि

बिन्दु x = 3 पर सतत है तब λ का मान होगा :
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) 1
हल :
बाय सीमा (Left hand limit)
f(3 – 0) = lim_h→0 f(3 – h)
= lim_h→0 (3 – h) + λ.
= (3 – 0) + λ
= 3 + λ
∵ x = 3 पर फलन सतत है, तब
f(3 – 0) = f(3)
3 + λ = 4
λ = 4 – 3
λ = 1
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 5.
यदि f(x) = cot x, x = \(\frac { n\pi }{ 2 } \) पर असतत है, तब
(a) n ∈ Z
(b) n ∈ N
(c) \(\frac { n }{ 2 }\) ∈z
(d) n = 0
हल :
∵ फलन x = \(\frac { n\pi }{ 2 } \) पर असतत है, तब

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 6.
फलन f(x) = x |x| के उन बिन्दुओं का समुच्चय, जिन पर वह अक्कलनीय होगा :
(a) (0, ∞)
(b) (-∞,∞)
(c) (-∞, 0)
(d) (-∞, 0) ∩ (0, ∞)
हल :
दिए गए फलन को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं,

अतः फलन x = 0 अवकलनीय है।
अतः फलन अन्तराल (- ∞, ∞) में अवकलनीय है।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 7.
निम्न फलनों में से कौन-सा x = 0 पर अवकलनीय नहीं है:
(a) x |x|
(b) tan x
(c) e^-x
(d) x + |x|
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज

x = 0 पर बायाँ अवकलज

∴ f’ (0 – 0) ≠ f’ (0 + 0)
अतः फलन (x) = x + |x|
x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।
अतः विकल्प (d) सही है।
छात्र इसी प्रकार अन्य तीनों विकल्पों की जाँच करें।

प्रश्न 8.
फलन

के लिए f(x) का x = 2 पर बाएँ अवकलज का मान होगा
(a) -1
(b) 1
(c)-2
(d) 2
हल :
x = 2 पर बायाँ अवकलज

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 9.
फलन f(x) = |x| अवकलनीय नहीं है
(a) प्रत्येक पूर्णाक पर
(b) प्रत्येक परिमेय संख्या पर
(c) मूल बिन्दु पर
(d) सर्वत्र
हल :
∵ [x] महत्तम पूर्णांक फलन सभी पूर्णाकों पर असतत होता है।
तथा हम जानते हैं कि प्रत्येक असतत फलन अवकलनीय नहीं होता है :
अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 10.
फलन

बिन्दु x = 0 पर अवकलनीय है, तब x = 0 पर f(x) का दायाँ अवकलज का मान होगा-
(a) -1
(b) 1
(c) 0
(d) अपरिमित
हल :
x = 0 पर दायाँ अवकलज

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 11.
फलन f(x) = | sin x | + | cos x | + |x|, ∀ x ∈ R की सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
माना x = c कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब x = c पर फलन (x) की सततता के लिए,
बार्यी सीमा (Left hand limit)
f(c – 0) = lim_h→0 f(c – h)
= lim_h→0 | sin (c – h) | + | cos (c – h) | + | (c – h) |
= | sin (c – 0) | + | cos (c – 0) | + | (c – 0) |
= | sin c | + | cos c| + | c |
= sin c + cos c + c
दाय सीमा (Right hand limit)
f(c + 0) = lim_h→0  f(c + h)
= lim_h→0 | sin (c + h)| + | cos (c + h) | + | (c – h) |
= | sin (c + 0) | + | cos (c + 0) | + | c + 0 |
= | sin c | + | cos c | + | c |
= sin c + cos c + c
x = c पर फलन का मान
f(c) = | sin c | + | cos c | + | c |
= sin c + cos c + c
∴ f(c – 0) = (c + 0) = f(c)
अतः फलन x = c पर सतत है।
अत: फलन f(x), R में सर्वत्र सतत है।

प्रश्न 12.
यदि फलन

बिन्दु x = 0 पर सतत है, तब m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
x = 0 बायीं सीमा

प्रश्न 13.
m तथा n के मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्न फलन सतत हो-

हल :
x = 2 पर सततता के लिए।
बार्यी सीमा (Left hand limit)
f(2 – 0) = lim_h→0 f(2 – h)
= lim_h→0 [(2 – h)² + m(2 – h) + n]
= (2 – 0)² + m(2 – 0) + n
= 4 + 2m + n
दाय सीमा (Right hand limit)
f(2 + 0) = lim_h→0 f(2 + h)
= lim_h→0 [4(2 + h) – 1]
= 4(2 + 0) – 1
= 8 – 1
= 7
x = 2 पर फलन का मान,
f(2) = 4 x 2 – 1 = 8 – 1 = 7
दिया है, x = 2 पर फलन सतत है, तब
f(2 – 0) = f(2 + 0) = f(2)
4 + 2m + n = 7 = 7
4 + 2m + n = 7
2m + n = 7 – 4
2m + n = 3
अब x = 4 पर सतता के लिए,
बार्यी सीमा (Left hand limit)
f(4 – 0) = lim_h→0 f(4 – h)
= lim_h→0 [4(4 – h) – 1]
= 4(4 – (0) – 1.
= 16 – 1
= 15
दार्थी सीमा (Right hand limit)
f(4 + 0) = lim_h→0 f(4 + a)
= lim_h→0 [m(4 + h)² + 17n]
= m(4 + 0)² + 17n
= 16 + 17n
x = 4 पर फलन का मान
f(4) = 4 x 4 – 1 = 16 – 1 = 15
दिया है, x = 4 पर फलन सतत है
f(4 – 0) = f(4 + 0) = f(4)
15 = 16m + 17n = 15
⇒ 16m + 17n = 15
समीकरण (i) से n = 3 – 2m समीकरण (ii) में रखने पर,
16m + 17(3 – 2m) = 15
16m + 51 – 34m = 15
– 18m = 15 – 51
– 18m = – 36
m = 2
m का मान समीकरण (i) में रखने पर,
2 x 2 + n = 3
n = 3 – 4
अतः m = 2, n = – 1.

प्रश्न 14.
फलन

के लिए बिन्दु. x = 0 पर सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 0 पर सततता के लिए
बार्यी सीमा (Left hand limit)

दार्थी सीमा (Right hand limit)

x = 0 पर फलन का मान,
f(0) = 1
∴ f(0 – 0) = f(0 + 0) = f(0) = 1
अत: फलन f(x), x = 0 पर सतत है।

प्रश्न 15.
फलन

के लिए बिन्दु x = 1 तथा 3 पर सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 1 पर सातत्यता की जाँच
बार्यी सीमा (Left hand limit)

दायीं सीमा (Right hand limit)
f(1 – 0) = lim_h→0 f(1 – h)
= lim_h→0 | 1 + h – 3 |
= | 1 + 0 – 3 |
= | – 2 |
= 2
x = 1 पर फलन का मान
f(1) = | 1 – 3 |
= | – 2 |
= 2
∴ f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1) = 2
अतः फलन f(x), x = 1 पर सतत है।
x = 3 पर सातत्यता की जाँच
बाय सीमा (Left hand limit)
f(3 – 0) = lim_h→0 f(3 – a)
= lim_h→0 – {(3 – h) – 3}
= lim_h→0 (3 – 3 + h)
= 0
दायीं सीमा (Right hand limit)
f(3 + 0) = lim_h→0 f(3 + h)
= lim_h→0 (3 + h – 3)
= 0
f(3) = 3 – 3 = 0
∴ f(3 – 0) = f(3 + 0) = f(0) = 0
अतः फलन f(x), x = 3 पर सतत है।

प्रश्न 16.
यदि

बिन्दु x = 0 पर सतत है, तब a, b तथा c के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
x = 0 पर दिया गया फलन सतत है, तब
बायीं सीमा (Left hand limit)

दायीं सीमा (Right hand limit)

प्रश्न 17.
फलन f(x) = \(\frac { |3x-4| }{ 3x-4 } \) के लिए \(x=\frac { 4 }{ 3 }\) पर सततता की जाँच कीजिए।
हल :
\(x=\frac { 4 }{ 3 }\) पर सतता के लिए
बायीं सीमा (Left hand limit)

दायीं सीमा (Right hand limit)


अत: फलन \(x=\frac { 4 }{ 3 }\) पर असतत है।

प्रश्न 18.
अन्तराल [-1,2] के फलन f(x) = |x| + |x – 1| के सतत होने की जाँच कीजिए।
हल :
दिया गया फलन f(x) = | x | + | x – 1 |
दिए गए फलन को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं

यहाँ केवल x = 0 तथा 1 पर सततता का परीक्षण करेंगे।
x = 0 पर सततता का परीक्षण
यहाँ f(0) = 1
बायीं सीमा (Left hand limit)
f(0 – 0) = lim_h→0 f(0 – h)
= lim_h→0 1 – 2(0 – h)
= 1
दायीं सीमा (Right hand limit)
f(0 + 0) = lim_h→0 f(0 + h)
= 1
f(0) = f(0 – c) = f(0 + 0)
अतः x = 0 पर फलन f(x) सतत है।
अब x = 1 पर सततता का परीक्षण
यहाँ f(1) = 2 x 1 – 1 = 1
बायीं सीमा (1 – 0) = lim_h→0 f(1 – h)
= lim_h→0 1
दायीं सीमा f(1 + 0) = lim_h→0 f(1 + h)
= lim_h→0 2(1 + h) – 1
= 2(1 + 0) – 1
= 2 – 1
= 1
∴ f(1) = (1 – 0) = f(1 + 0)
अतः x = 1 पर फलन f(x) सतत है।
∴ फलन x = 0 तथा 1 पर सतत है।
अतः फलन f(x), अन्तराल [-1, 2] में सतत है।

प्रश्न 19.
यदि फलन

बिन्दु x = 0 पर सतत है, तब f(0) का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ फलन x = 0 पर सतत है।

प्रश्न 20.
फलन

का x = 0 पर सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
दिया गया फलन


अर्थात् फलन की सीमा का x = 0 पर अस्तित्व नहीं है।
अतः फलन x = 0 पर सतत नहीं है।

प्रश्न 21.
फलन f(x) = sin x, x के किन मानों के लिए अवकलनीय है।
हल :
दिया गया फलन, (x) = sinx
f का प्रान्त R है अर्थात् डोमेन (f) = R
जहाँ R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
माना a ∈ R कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है,
तब x = a पर बायाँ अवकलज


अत: sin x, a ∈ R में अवकलनीय है।
∵ a समुच्चय R का एक स्वेच्छ अवयव है।
∴ sin x, x ∈ R में अवकलनीय है।

प्रश्न 22.
फलन

की x ∈ R के लिए अवकलनीयता की जाँच कीजिए तथा f’ (0) का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज

x = 0 पर दायाँ अवकलज

अतः फलन x = 0 पर अवकलनीय है।
∴ x ∈ R, तब फलन प्रत्येक x ∈ R के लिए अवकलनीय है तथा
f’ (0) = 0.

प्रश्न 23.
फलन

बिन्दु x = a पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = a पर बायाँ अवकलज = L.H.D.


x = a पर दायाँ अवकलज = R.H.D.

अतः फलन x = a पर अवकलनीय है।

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि फलन

बिन्दु x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।
हल :
x = 1 पर बायाँ अवकलज (L.H.D.)

x = 1 पर दायाँ अवकलज (R.H.D.)


अतः फलन x = 1 पर अवकलनीय है।

प्रश्न 25.
फलन

की बिन्दु x = 0 अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज (L.H.D.)

x = 0 पर दायाँ अवकलज (R.H.D.)

अतः फलन x = 0 पर अवकलनीय है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि फलन

बिन्दु x = 0 पर अवकलनीय है।
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज

x = 0 पर बायाँ अवकलज

अत: फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 27.
फलन f(x) = | x – 2 | + 2| x – 3 | की अन्तराल [1, 3] में अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
हल :
दिए गए फलन को निम्न प्रकार लिख सकते हैं

यहाँ x = 2 पर अवकलनीय की जाँच करेंगे; क्योंकि
2 ∈ [1, 3]
x = 2 पर बाय सीमा (Left hand limit)

x = 2 पर दायीं सीमा (Right hand limit)

अत: फलन x = 2 पर अवकलनीय नहीं है। स्पष्ट है कि फलन अन्तराल [1, 3] में अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 28.
यदि फलन (x) = x³, x = 2 पर अवकलनीय है, तब f’(2) ज्ञात कीजिए।
हल :
x = 2 पर बायीं सीमा (Left hand limit)

x = 2 पर दायीं सीमा (Right hand limit)

अतः फलन x = 2 पर अवकलनीय है।
तथा f’ (2) = 12.

प्रश्न 29.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम मान फलन f(x) = [x], बिन्दु x = 2 पर अवकलनीय नहीं है।
हल :
x = 2 पर बाय सीमा (Left hand limit)


x = 2 पर दार्थी सीमा (Right hand limit)

अत: x = 2 पर फलन अवकलनीय नहीं है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 30.
फलन

तब f’ (2 – 0) ज्ञात कीजिए।
हल :

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