RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Ex 6.1

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Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Ex 6.1

प्रश्न 1.
निम्न फलनों की सातत्यता का परीक्षण कीजिए-

हल :
(a)
दिया गया फलन

तथा x = 0 के लिए,
f(0) = 0
∴ f(0 – 0) = f(0 + 0) = f(0) = 0
अतः दिया हुआ फलन x = 0 पर सतत है।

(b)

दिया गया फलन


= कोई अस्तित्व नहीं है।
∵ बायीं सीमा तथा दार्थी सीमा का कोई अस्तित्व नहीं है।
अत: दिया हुआ फलन x = 0 पर असतत है।

(c)

दिया गया फलन

तथा x = 3 के लिए।
f(3) = 1 + x ⇒ 1 + 3 = 4
∴ f(3 – 0) = (3 + 0) = f(3) = 4
अतः दिया गया फलन x = 3 पर सतत है।

(d)

दिया गया फलन


तथा x = 0 के लिए,
f(0) = sin 0 = 0
∴ f(0 – 0) = f(0 + 0) = f(0) = 0
अत: दिया हुआ फलन x = 0 पर सतत है।

(e)

दिया गया फलन

तथा x = a के लिए,
f(a) = 0 (प्रश्नानुसार)
∴ f(a – 0) = f(a + 0) ≠ f(a)
अतः दिया हुआ फलन x = a पर असतत है।

(f)

दिया गया फलन


तथा x = a के लिए,
f(a) = 0 (प्रश्नानुसार)
∴ f(a – 0) = f(a + 0) ≠ f(a)
अतः दिया हुआ फलन x = a पर असतत है।

(g)

दिया गया फलन


तथा x = a के लिए,
f(a) = 0.
∴ f(a – 0) = f(a + 0) = f(a) = 0
अतः दिया हुआ एलन x = a पर सतत है।

प्रश्न 2.
फलन f(x) = x – [x] की x = 3 पर सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
दिया गया फलन, f(x) = x – [x], x = 3 पर
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
f(3 – 0) = lim_h→0 f(3 – h)
= lim_h→0 (3 – h) – [3 – h]
= 3 – 2
= 1
[क्योंकि 3 के पहले महत्तम पूर्णांक 2 है।]
दाय सीमा (Right hand limit) के लिए,
f(3 + 0) = lim_h→0 f(3 + h)
= lim_h→0 (3 + h) – [3 + h]
= 3 – 3
= 0
∴(3 – 0) ≠ f(3 + 0)
अतः दिया हुआ फलन x = 3 पर असतत है।

प्रश्न 3.
यदि निम्न फलन

बिन्दु x = 2 पर सतत है, तब λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,

∴ फलन x = 2 पर सतत है, तब
f(2 – 0) = f(2 + 0) = f(2)
तब 7 = 7 = λ.
अतः λ = 7.

प्रश्न 4.
निम्न फलन

के अन्तराल [-1,2] में सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
हम यहाँ पर फलन की सततता की जाँच बिन्दु x = 0 पर कारेंगे तथा 0 ∈ [-1, 2].
x = 0 पर फलन की सततता का परीक्षण,
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
f(0 – 0) = lim_h→0 f(0 – h)
= lim_h→0 (0 – h)²
= lim_h→0 h²
= 0
दायीं समा (Right hand limit) के लिए,
f(0 + 0) = lim_h→0 f(0 + h)
= lim_h→0 4(0 + h) – 3
= lim_h→0 4h – 3
= 0 – 3
= – 3
∴ f(0 – 0) ≠ f(0 + 0)
बार्थी सीमाके ≠ दार्थी सीमा
अतः फलन x = 0 पर असतत है तथा x ∈ [-1, 2]
x = 1 पर फलन की सततता का परीक्षण
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
f(1 – h) = lim_h→0 4 (1 – h) – 3
= lim_h→0 4 – 3 – 4h
= 4 – 3 – 0 = 1
दाय सीमा (Right hadn limit) के लिए,
(1 + h) = lim_h→0 5(1 + h)² – 4(1 + h)
= lim_h→0 5(1 + h² + 2h) – (4 + 4h)
= lim_h→0 5h² + 10h + 5 – 4 – 4h
= 5 x 0 + 10 x 0 + 1 – 4 (0)
= 1
x = 1 पर फलन का मान ।
f(1) = 4 x 1 – 3 = 1
∵ lim_h→0 f(1 – h) = f(1) = lim_h→0 f(1 + h)
∴ फलन x = 2 पर सततता है।
अत: दिया हुआ फलन अन्तराल [-1, 2] में असतत है।

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