RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Ex 6.2

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Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Ex 6.2

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है
(i) तत्समक फलन f(x) = x
(ii) अचर फलन f(x) = c, जहाँ c अचर है।
(iii) f(x) = e^x
(iv) f(x) = sinx.
हल :
(i) दिया है कि f(x) = x, तत्समक फलन है।
जहाँ x ∈ R (R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय)
माना a कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब
x = a पर f(x) को बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

पुन: x = a पर f(x) का दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

अतः तत्समक फलन f(x) = x, x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय
इति सिद्धम्।

(ii) दिया है कि अचर फलन f(x) = c, जहाँ c अचर है। फलन f(x) का प्रान्त वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R है।
माना a कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब
x = a पर f(x) का बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

पुन: x = a पर f(x) का दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

अतः अचर फलन (x) = c, x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय
इति सिद्धम्।

(iii) दिया गया फलन f(x) = e^x जहाँ x ∈ R
माना a कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब
x = a पर f(x) का बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

पुन: x = a पर f(x) का दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

अतः अचर फलन (x) = e^x, x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय
इति सिद्धम्।

(iv) दिया गया फलन f(x) = sin x, जहाँ x ∈ R
माना a कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब
x = a पर f(x) का बायाँ अवकलज (Left hand derivative)


पुनः x = a पर f(x) का दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

= cos a × 1
= cos a
∴ f’ (a – 0) = f’ (a + 0)
अतः फलन f(x) = sin x, x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = | x | बिन्दु x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।
हल :
x = 0 पर अवकलनीयता के लिए,
बायाँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)
L.H.D.

तथा दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)
R.H.D.


अतः फलन f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
फलन f(x) = |x – 1| + |x|, का बिन्दुओं x = 0, 1 पर अवकलनीयता को परीक्षण कीजिए।
हल :
हम दिए गए फलन को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं :

x = 0 पर अवकलनीयता के लिए,
बाएँ पक्ष का अवकलन (Left hand derivative)
L H.D.

दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)
R.H.D.

अतः फलन f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।
अब x = 1 पर अवकलनीयता के लिए,
बाएँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)


तथा दाएँ पथ का अवकलज (Right hand derivative)

अतः फलन f(x), x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
फलन f(x) = |x – 1| + |x – 2| के अन्तराल [0, 2] में अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
दिए गए फलन को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं,

यहाँ फलन की अवकलनीयता की जाँच बिन्दु x = 1 पर करेंगे। क्योंकि 1 ∈ [0, 2]
x = 1 पर अवकलनीयता के लिए।
बाएँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)
L.H.D.

दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)
R.H.D.

फलन f(x), x = 1 पर अवकलनीय नहीं है तथा x = [0, 2]
अत: दिया हुआ फलन अन्तराल [0, 2] में अवकलनीय नहीं है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
निम्न फलन

की बिन्दु पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 0 पर अवकलनीयता के लिए,
बाएँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)

दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)

अतः x = 0 पर फलन अवकलनीय है।

प्रश्न 6.
फलन

की बिन्दु x = 0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 0 पर अवकलनीयता के लिए,
बाएँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)
L.H.D.

दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)
R.H.D.

अतः x = 0 पर फलन अवकलनीय है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन

(a) बिन्दु x = 0 पर सतत है यदि m > 0
(b) बिन्दु x = 0 पर अवकलनीय है यदि m > 1
हल :
(a) x = 0 पर सततता
(i) x = 0 पर फलन का मान f(0) = 0
(ii) x = 0 पर f(x) की बार्थी सीमा

(iii) x = 0 पर f(x) की दायीं सीमा

x = 0 पर फलन f(x) सतत होगा यदि (i) व (iii) अगल-अलग शून्य हों। ,
चूँकि \(cos\left( \frac { 1 }{ h } \right) \) का मान – 1 तथा 1 के मध्य परिमित राशि है।
अत: दोनों सीमाएँ शून्य होंगी यदि m > 0
अतः फलन f(x), x = 0 पर सतत है यदि m> 0

(b) x = 0 पर अवकलनीयता,
x = 0 पर बायाँ अवकलज (left hand derivative)

x = 0 पर दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

दिया है कि f(x), x = 0 पर अवलनीय है, तब
f’ (0 – 0) = f’ (0 + 0),
जो कि समीकरण (i) व (ii) से
तभी सम्भव है जबकि m – 1 > 0 या m > 1
अतः दिया गया फलन f(x), x = 0 पर अवकलनीय है, यदि m> 1.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
निम्न फलन की x = 0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए :

हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

x = 0 पर दायाँ अवकलज (Right hand derivation)

अतः फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 9.
फलन

की बिन्दु x = 0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

x = 0 पर दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

यहाँ बायाँ व दायाँ अवकलज विद्यमान नहीं है।
अत: x = 0 पर दिया गया फलन अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 10.
फलन

बिन्दु x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) पर बायाँ अवकलज (Left hand derivative)


पुनः x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) पर दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

अतः ∴ x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) पर दिया गया फलन अवकलनीय है।

प्रश्न 11.
m तथा n के मान ज्ञात कीजिए जबकि फलन

प्रत्येक बिन्दु पर अवकलनीय है।
हल :
दिया है कि फलन f(x), x = 1 अवकलनीय है। हम जानते हैं। कि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है। अतः x = 1 पर फलन f(x) सतत है।
∴ बाय सीमा (Left hand limit)
f(1 – 0) = lim_h→0  f(1 -h)
= lim_h→0 (1 + h)² + 3(1 – h) + m
= (1 – 0)² + 3(1 – 0) + m
= 1 + 3 + m
= 4 + m
अब दार्थी सीमा (Right hand limit)
f(1 + 0) = lim_h→0 f(1 + h)
= lim_h→0 n(1 + h) + 2
= n(1 + 0) + 2
= n + 2
∴ फलन x = 1 पर सतत है, तब
f(1 – 0) = f(1 + 0)
तब 4 + m = n + 2
या m – n = – 2
पुनः x = 1 पर f(x) अवकलनीय है।
तब x = 1 पर बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

तथा x = 1 पर दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

∴ x = 1 पर फलन अवकलनीय है।
तब f’ (1 – 0) = f’ (1 + 0)
5 = n ⇒ n = 5
n का मान समीकरण (i) में रखने पर,
⇒ m – 5 = – 2
⇒ m = – 2 + 5
m = 3
अतः m = 3 तथा n = 5

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