RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 बहुपद Additional Questions

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Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 3 बहुपद Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बहुपद p(x) = 5x² – 3x + 7 में x = 1 रखने पर बहुपद का मान होगा:
(A) 9
(B) 11
(C) 12
(D) 3

प्रश्न 2.
p(x) = 2x + 1 का एक शून्यक होगा:
(A) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(B) 3
(C) \(\frac { -1 }{ 2 }\)
(D) 1

प्रश्न 3.
x⁴ + x³ – 2x² + x + 1 को x – 1 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल होगाः
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) -2

प्रश्न 4.
व्यंजक (x – 3) बहुपद p(x) = x³ + x² – 17x + 15 का गुणनखण्ड होगा, यदिः
(A) p (3) = 0
(B) p(-3) = 0
(C) p(-3) = 3
(D) p(-3) = -3

प्रश्न 5.
x³ – y³ का एक गुणनखण्ड है:
(A) x + y
(B) x² + y²
(C) x² – xy + y²
(D) x – y

प्रश्न 6.
x⁴ + 8x का एक गुणनखण्ड है:
(A) x + 2
(B) x – 2
(C) x² + 8
(D) x² + 2x + 2

प्रश्न 7.
x³ – 8 का एक गुणनखण्ड है:
(A) x + 2
(B) x – 4
(C) x² + 2x + 4
(D) x² – 2x – 4

प्रश्न 8.
3y³ + 8y² – 1 का पूर्णांक शून्य है:
(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) विद्यमान नहीं

उत्तरमाला

1. (A)
2. (C)
3. (B)
4. (A)
5. (D)
6. (A)
7. (C)
8. (D)

अतिलघूतटीय/लघूत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि 2 और 0 बहुपद x² – 2x के शून्यक हैं।
हल
माना p(x) = x² – 2x
p(2) = 2² – 2 (2)
⇒ p(2) = 4 – 4 = 0
एवं p(0) = 0 – 0 = 0
अतः 2 और 0 दोनों ही बहुपद x² – 2x के शून्यक हैं।

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि बहुपद q (t) = 4t³ + 4t² – t – 1, 2t + 1 का (2t + 1) एक गुणज है।
हल
बहुपद q (t), (2t + 1) का गुणज केवल तब(RBSESolutions.com)होगा जब (2t + 1) से q(t) को भाग देने पर शेषफल शून्य आता हो

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि 5 बहुपद 2x³ – 7x² – 16x + 5 का शून्यक है।
हल
5, माना p (x) = 2x³ – 7x² – 16x + 5 का शून्यक है।
बहुपद में x = 5 रखने पर,
p (5) = 2 (5)³ – 7 (5)² – 16 (5) + 5
= 2 x 125 – 7 (25) – 80 + 5
= 250 – 175 – 80 + 5
= 255 – 255
= 0
x = 5 रखने पर बहुपद का मान शून्य प्राप्त होता है।
अतः 5 बहुपद का शून्यक होगा।

प्रश्न 4.
a के किस मान के लिए बहुपद f(x) = x³ + 2x² – 3ax – 8 में व्यंजक (x – 4) का पूरा-पूरा भाग जाता है?
हल
हम जानते हैं कि x – 4 को भाग देने पर शेषफल f(4) प्राप्त होता है।
f(x) = x³ + 2x² – 3ax – 8
f(4) = (4)³ +2 (4)² – 3a (4) – 8
= 64 + 2 x 16 – 12a – 8
= 64 + 32 – 12a – 8
= 96 – 12a – 8
= 88 – 12a
पूरा-पूरा भाग जाने के लिए शेषफल शून्य होगा अर्थात
f(4) = 0
⇒ 88 – 12d = 0
⇒ 12a = 88
⇒ a = \(\frac { 88 }{ 12 }\) = \(\frac { 22 }{ 3 }\)
अतः a = \(\frac { 22 }{ 3 }\) होगा।

प्रश्न 5.

हल

प्रश्न 6.
यदि x³ + a³ में x + a का भाग दिया जाए, तो शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल

प्रश्न 7.
(2x + 3)³ + (3x – 2)³ – (5x + 1)³ के गुणनखण्ड कीजिए।
हल
माना 2x + 3 = a, 3x – 2 = b और – (5x + 1) = c
अब a + b + c = (2x + 3) + (3x – 2) – (5x + 1)
= 2x + 3 + 3x – 2 – 5x – 1
= 5x – 5x + 3 – 3
= 0
अतः a³ + b³ + c³ = 3abc
a, b तथा c के मान रखने पर।
(2x + 3)³ + (3x – 2)³ – (5x + 1)³
=3 × (2x + 3) × (3x – 2) × [-(5x + 1)]
= -3 (2x + 3) (3x – 2) (5x + 1)

प्रश्न 8.
सिद्ध करो कि x² + 6x + 15 का कोई शून्य नहीं होता।
हल
माना कि f(x) = x² + 6x + 15
f (x) = { x² + 2 (3) x + 9} + 6
= (x + 3)² + 6
यहाँ हम देखते हैं कि x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए (x + 3)² कभी भी ऋणात्मक मान ग्रहण नहीं कर सकता।
अतः (x + 3)² का मान सदैव(RBSESolutions.com)शुन्य से बड़ा ही रहेगा।
परिणामस्वरूप f(x) का मान भी 6 या उससे अधिक होगा।
इसलिए f(x) का कोई शून्य विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 9.
गुणनखण्ड कीजिए|
(i) x³ – 64
(ii) (2x – 1)³ – (x – 1)³
हुल

प्रश्न 10.
(3a + 4b + 5c)² को प्रसारित रूप में लिखिए।
हल

प्रश्न 11.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके, निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए-
(i) (104)³
(ii) (999)³
हल

प्रश्न 12.
8x³ + 27y³ + 36x²y + 54xy² के गुणनखण्ड कीजिए।
हल
दिया व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है-

प्रश्न 13.
(4a – 2b – 3c)² का प्रसार कीजिए।
हल
सर्वसमिका से हम जानते हैं कि

प्रश्न 14.

हल

प्रश्न 15.
प्रदर्शित कीजिए कि बहुपद x¹⁰ – 1 और x¹¹ – 1 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है।
हल
माना p(x) = x¹⁰ – 1 ⇒ q(x) = x¹¹ – 1
यदि (x – 1), P(x) व q(x) का(RBSESolutions.com)एक गुणनखण्ड है, तो p(x) = 0 तथा q(x) = 0

प्रश्न 16.
व्यंजक x⁸ – y⁸, के गुणनखण्ड कीजिए।
हल

प्रश्न 17.

हल

प्रश्न 18.
गुणनखण्ड कीजिए a³ (b – c)³ + b³ (c – a)³ + c³ (a – b)³
हल

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