RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 समतल ज्यामिती परिचय एवं रेखाएँ व कोण Ex 5.2 is part of RBSE Solutions for Class 9 Maths. Here we have given Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 5 समतल ज्यामिती परिचय एवं रेखाएँ व कोण Exercise 5.2.
| Board | RBSE |
| Textbook | SIERT, Rajasthan |
| Class | Class 9 |
| Subject | Maths |
| Chapter | Chapter 5 |
| Chapter Name | समतल ज्यामिती परिचय एवं रेखाएँ व कोण |
| Exercise | Exercise 5.2 |
| Number of Questions Solved | 11 |
| Category | RBSE Solutions |
Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 5 समतल ज्यामिती परिचय एवं रेखाएँ व कोण Ex 5.2
प्रश्न 1.
चित्र में, रेखाएँ AB, CD तथा EF परस्पर समान्तर हैं तो ∠x, ∠y, ∠z और ∠p ज्ञात कीजिए।
हल
∠x + ∠y = 180° (रैखिक कोण युग्म) …(i)
∠x = ∠z (एकान्तरे कोण) …(ii)
∠z = 68° (संगत कोण) …(iii)
समीकरण (ii) व (iii) से, ∠x = ∠z = 58° …(iv)
समीकरण (i) व (iv) से,
58° + ∠y = 180°
∠y = 180° – 58° = 122°
∠p = ∠y (संगत कोण)
∠p = 122°
अतः ∠x = 58°, ∠y = 122°, ∠z = 58° तथा ∠p = 122°
प्रश्न 2.
चित्र में, AB || EF हैं। ∠x एवं ∠y ज्ञात कीजिए।
हल:
CD || AB खींची।
AB || EF = AB || CD || EF
∠BAC + ∠ACD = 180° (एक ही ओर के अन्त:कोणों का योगफल 180° होता है।)
⇒ 125° + ∠ACD = 180°
⇒ ∠ACD = 180° – 125° = 55°
∠DCE + ∠CEF = 180° (एक ही ओर के अन्तः कोणों का योगफल 180° होता है।)
⇒ ∠DCE + 141° = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 141° = 39°
⇒ ∠x = ∠ACD + ∠DCE = 55°+ 39° = 94°
∠x + ∠y = 360°
(एक बिन्दु के चारों(RBSESolutions.com)ओर पूरे एक परिक्रमण से बना कोण 360° के बराबर होता है।)
⇒ 94° + ∠y = 360°
⇒ ∠y = 360° – 94° = 266°
अत: ∠x = 94° और ∠y = 266°
प्रश्न 3.
चित्र में l || m, तो ∠1 के तुल्य कोणों को बताइए।
हल:
∠1 = ∠3 (शीर्षाभिमुख कोण)
∠1 = ∠5 (संगत कोण)
∠5 = ∠7 (शीर्षाभिमुख कोण)
अत: ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7
प्रश्न 4.
चित्र में, ∠1 = 60° और ∠6 = 120° है। दर्शाइए कि m और n समांतर है।
हल:
माना तिर्यक रेखा
PQ, AB और CD को क्रमशः R और S पर काटती है।
∠1 + ∠4 = 180° (रैखिक कोण युग्म)
⇒ ∠4 = 180 – ∠1 = 180° – 60° = 120°
चित्र से,
∠6 = ∠8 = 120० (शीर्षाभिमुख कोण)
∠4 = ∠6 = 120°
एकान्तर कोण समान हैं। अतः m और n समांतर हैं।
प्रश्न 5.
AP और B७ उन दो एकान्तर कोणों के समद्विभाजक हैं जो समान्तर रेखाओं l और m के तिर्यक रेखा n द्वारा प्रतिच्छेद से बनते हैं दर्शाइए कि AP || BQ है।
हल:
दिया है :
एक तिर्यक रेखा n (रेखा RS) दो रेखाओं LL’ व MM’ को P व Q पर प्रतिच्छेद(RBSESolutions.com)करती है। किरण AP, ∠RPL की समद्विभाजक है और किरण BQ, ∠SQM’ की समद्विभाजक है, तथा LL’ || MM’ है।
सिद्ध करना है- AP || BQ
उपपत्ति- किरण AP, ∠RPL की समद्विभाजक है।
∠RPA = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠RPL …(i)
इसी प्रकार, किरण BQ, ∠SQM’ की समद्विभाजक है।
∠SQB = ∠SQM …(i)
LL’ || MM’ है और RS तिर्यक रेखा काटती है।
∠RPL = ∠SQM’ (एकान्तर बाह्य कोण)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠RPL = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠SQM
दोनों ओर \(\frac { 1 }{ 2 }\) से गुणा करने पर
⇒ ∠RPA = ∠SQB (एकान्तर(RBSESolutions.com)बाह्य कोण)
अतः AP || BQ इति सिद्धम्।
प्रश्न 6.
चित्र में BA || ED और BC || EF है। दर्शाइए। कि ∠ABC + ∠DEF = 180° है।
हल:
दिया है- BA || ED
तथा BC || EF B रेखा ED को आगे बढ़ाते हैं और वह रेखा BC को बिन्दु G पर काटती है।
माना ∠ABC = x तथा ∠DEF’ = y
∠DGC = ∠ABC = x (संगत कोण)
तथा ∠DEF = ∠HGC = y (संगत कोण)
चित्र से स्पष्ट है,
EH एक सरल रेखा है।
अतः ∠DGC + ∠CGH = 180°
⇒ x + y = 180°
अतः ∠ABC + ∠DEF = 180°
इति सिद्धम्।
प्रश्न 7.
चित्र में DE || QR तथा AP और BP क्रमशः ∠EAB और ∠RBA के समद्विभाजक हैं। ∠APB का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है- DE ||QR तथा AP, ∠EAB का तथा BP, ∠RBA का समद्विभाजक है।
∠EAB = 2 ∠PAB …(i)
तथा ∠RBA = 2∠PBA …(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
∠EAB + ∠RBA = 2(∠PAB + ∠PBA) …(iii)
∆APB में,
∠PAB + ∠PBA + ∠APB = 180°
⇒ ∠APB = 180° – (∠PAB + ∠PBA) …(iv)
समीकरण (iii) व (iv) से,
प्रश्न 8.
दो सरल रेखाएँ क्रमशः दो समान्तर रेखाओं पर लम्ब हैं। दर्शाइए कि ये दोनों सरल रेखाएँ परस्पर समान्तर हैं।
हल
ज्ञात है-दो सरल रेखाएँ, दो(RBSESolutions.com)समान्तर रेखाओं पर लम्ब है।
सिद्ध करना है- दोनों सरल रेखाएँ समान्तर हैं।
उपपत्ति- माना AB व CD दो समान्तर रेखाएँ हैं। दो सरल रेखाएँ PQ व RS, AB व CD पर लम्ब हैं।
∠RNB = ∠RTD = 90° (संगत कोण) …(i)
इसी प्रकार,
∠PMB = ∠POD = 90° (संगत कोण) …(i)
समीकरण (i) व (ii) से,
∠PMB = ∠RNB = 90°(संगत कोण) …(iii)
∠POD = ∠RTD = 90° (संगत कोण) …(iv)
समीकरण (iii) व (iv) से स्पष्ट है कि रेखाएँ PQ वे RS परस्पर समान्तर हैं क्योंकि संगत कोण समान हैं।
अत: PQ || RS
प्रश्न 9.
चित्र में, AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल
माना तिर्यक रेखा PQ बिन्दु
R, S, T पर रेखाओं AB, CD तथा EF’ को प्रतिच्छेद करती हैं।
चूँकि CD || EF तथा(RBSESolutions.com)तिर्यक रेखा PQ उनको क्रमशः S तथा T पर काटती हैं।
∠CST = ∠STF (एकान्तर कोण)
180° – y = z (∠y + ∠CST = 180° रैखिक कोण युग्म)
y + z = 180°
दिया है, y : z = 3 : 7
अनुपातों का योग = 3 + 7 = 10
y = \(\frac { 3 }{ 10 }\) x 180° = 3 x 18° = 54°
तथा z = \(\frac { 7 }{ 10 }\) x 180° = 7 x 18° = 126°
AB || CD तथा(RBSESolutions.com)तिर्यक् रेखा PQ, AB व CD को क्रमशः R तथा S पर काटती हैं।
∠ARS + ∠RSC = 180° (त्रिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तः कोण सम्पूरक होते हैं)
x + y = 180°
⇒ x = 180°- y = 180° – 54° = 126°
प्रश्न 10.
चित्र में PQ और RS दो दर्पण हैं जो (RBSESolutions.com)समांतर हैं। एक आपतित है। किरण AB दर्पण PQ के बिन्दु B. से परावर्तित होकर पथ BC पर चलकर दर्पण RS के बिन्दु C से पुनः परावर्तित होकर पथ CD के अनुदिश चलती है, तो सिद्ध कीजिए AB || CD है।
हल
दिया है-दर्पण PQ || दर्पण RS तथा AB और BC दर्पण PQ के लिए क्रमशः आपतित(RBSESolutions.com)और परावर्तित किरणें हैं। दर्पण RS के लिए आपतित किरण BC तथा परावर्तित किरण CD है। BP दर्पण PQ के बिन्दु B पर तथा CQ’ दर्पण RS के बिन्दु C पर अभिलम्ब है।
प्रश्न 11.
चित्र में, यदि PQ || RS, ∠MXQ = 135° और ∠MYR = 40° है, तो ∠XMY ज्ञात कीजिए।
हल
चित्र में, XM को नीचे आगे बढ़ाने पर माना वह RS रेखा को बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती है।
∠MXQ = ∠MTR = 135° (एकान्तर कोण)
∠TXP = 180° – 135° = 45°
∠MTY = ∠TXP = 45° (एकान्तर कोण)
∆MTY में,
∠MTY + ∠TYM + ∠YMT = 180°
∠YMT = 180° – (∠MTY + ∠TYM) = 180° – (45° + 40°) = 95°
∠XMY = 180° – 95° = 85°
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