RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ Ex 7.3

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Board RBSE
Textbook SIERT, Rajasthan
Class Class 9
Subject Maths
Chapter Chapter 7
Chapter Name त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ
Exercise Exercise 7.3
Number of Questions Solved 5
Category RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ Ex 7.3

प्रश्न 1.
ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए चित्र)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि :
RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ Ex 7.3
(i) ΔABD = ΔACD
(ii) ΔABP = ΔACP
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
हल:
(i) ΔABD तथा ΔACD में,
AB = AC दिया है।
BD = DC दिया है।
और AD = AD [उभयनिष्ठ]
भुजा-भुजा-भुजा(RBSESolutions.com)गुणधर्म से, ΔABD = ΔACD
∠BAD = ∠CAD [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत कोणी]
∠BAP = ∠CAP …(i)
(ii) ΔABP तथा ΔACP में,
AB = AC [दिया है।]
∠BAP = ∠PAC [समी (i) से]
और AP = AP [उभयनिष्ठ भुजा]
भुजा-कोण-भुजा गुणधर्म से, ΔABP = ΔACP
BP = CP …(ii) (सर्वांगमस त्रिभुजों के संगत भाग]
(iii) ΔABD = ΔACD
∠BAD = ∠CAD
AP, ∠A को समद्विभाजित करता है। …(iii)
ΔBDP तथा ΔCDP में,
BD = CD [दिया है।]
BP = PC [समी (ii) से]
तथा DP = DP (उभयनिष्ठ भुजा)
भुजा-भुजा-भुजा(RBSESolutions.com)गुणधर्म से,
ΔBDP = ΔCDP
तथा ∠BDP = ∠CDP
DP, ∠D को समद्विभाजित करता है। …(iv)
समीकरण (iii) तथा (iv) से,
AP, ∠A तथा ∠D को समद्विभाजित करता है।
(iv) ΔBAP = ΔCAP
∠APB = ∠APC
∠APB + ∠APC = 180° [समान्तर युग्म]
परन्तु ∠APB = ∠APC [ऊपर सिद्ध किया जा चुका है।]
∠APB = ∠APC = \(\frac { 180 }{ 2 }\) = 90°
तथा BP = PC (ऊपर सिद्ध किया गया है)
या AP, BC का लम्ब(RBSESolutions.com)समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्।

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प्रश्न 2.
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि
(i) AD रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्वि(RBSESolutions.com)भाजित करता है।
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हल
(i) AD शीर्ष A से BC पर लम्ब है, जो कि समद्विबाहु त्रिभुज ABC के आधार BC के सम्मुख है।
AB = AC,
∠ADC = ∠ADB = 90°
अब ΔADB तथा ΔADC में,
कर्ण AB = कर्ण AC [दिया है।]
AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा)
तथा ∠ADC = ∠ADB [प्रत्येक 90°]
समकोण-कर्ण-भुर्जी(RBSESolutions.com)सर्वांगसमता गुणधर्म से,
ΔADB = ΔADC
BD = DC [सर्वांगसमता त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं।]
AD, BC को संमद्विभाजित करता है।
(ii) ΔADB = ΔADC
अतः ∠BAD = ∠CAD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।]
AD, ∠A को समद्विभाजित करता है।
इति सिद्धम्।

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प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमश: एक दूसरे त्रिभुजं की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं। (देखिए चित्र)। दर्शाइए कि
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(i) ΔABM = ΔPQN
(ii) ΔABC = ΔPQR
हल
ΔABC तथा ΔPQR में,
AB = PQ, BC = QR तथा AM = PN
चूंकि AM तथा PN क्रमशः ΔABC तथा ΔPQR की माध्यिकाएँ हैं।
अब BC = QR [दिया है।]
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) QR
⇒ BM = QN …(i)
अब, ΔABM तथा ΔPQN में,
AB = PQ [दिया है।]
BM = QN [(i) से]
तथा AM = PN दिया है।
भुजा-भुजा-भुजा(RBSESolutions.com)सर्वांगसमता गुणधर्म से,
ΔABM = ΔPQN इति सिद्धम्।
∠B = ∠Q …(ii) [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।]
अब ΔABC तथा ΔPQR में,
AB = PQ दिया है।
∠B = ∠Q – [(ii) से]
BC = QR [दिया है।]
भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से,
ΔABC = ΔPQR
इति सिद्धम्।

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प्रश्न 4.
BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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हल
ΔBCF तथा ΔCBE में,
∠BFC = ∠CEB [प्रत्येक 90° है।
कर्ण BC = कर्ण BC (उभयनिष्ठ भुजा)
FC = EB [दिया है]
समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से,
ΔBCF = ΔCBE
∠FBC = ∠ECB (सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
या ∠ABC = ∠ACB
AB = AC
ΔABC एक समद्विबाहु(RBSESolutions.com)त्रिभुज है।
इति सिद्धम्।

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प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींचकर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।
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हल
ΔABP तथा ΔACP में,
AB = AC [दिया है।
AP = AP (उभयनिष्ठ भुजा)
∠APB = ∠APC [प्रत्येक 90°]
समकोण-कर्ण-भुजा गुण(RBSESolutions.com)धर्म से,
ΔABP = ΔACP
∠B = ∠C (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इति सिद्धम्।

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