Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.2
प्रश्न 1.
यदि दो सदिशों के परिमाण 4 और 5 इकाई हों, तो उनका अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए जबकि उनके मध्य का कोण हों।
(i) 60°
(ii) 90°
(iii) 30°
हल :
माना दो सदिश \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) है तथा उनके बीच का कोण θ हो, तो
(i) जब
अतः सदिशों का अदिश गुणनफल = 10.
(ii) जब
अतः सदिशों का अदिश गुणनफल = 0
(iii) जब
अतः सदिशों का अदिश गुणनफल = 10√3
प्रश्न 2.
\(\vec { a } \cdot \vec { b } \) का मान ज्ञात कीजिए जबकि \(\vec { a } \) एवं \(\vec { b } \) क्रमशः है
हल :
(i) दिया है कि
दिए गए सदिशों को हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते है।
= (2 x 3) + {5 x (-2)} + (0 x 0)
= 6 – 10 + 0
अतः \(\vec { a } \cdot \vec { b } \) = – 4
(ii) दिया है कि
दिए गए सदिशों के हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते है।
(iii) दिया है कि
दिए गए सदिशों को हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते है।
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि
हल :
यदि \(\vec { a } \) = 0 अथवा है \(\vec { b } \) = 0 तो असमिका
परन्तु यहाँ माना
तब हम जानते हैं कि
[सदिश \(\vec { a } \) तथा सदिश \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर।
इति सिद्धम्
प्रश्न 4.
यदि दो बिन्दुओं P एवं Q के निर्देशांक क्रमशः (3, 4) एवं (12, 9) हो, तो ∠POQ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ O मूल बिन्दु है।
हल :
बिन्दु P के निर्देशांक = (3, 4)
प्रश्न 5.
λ के किस मान के लिए सदिश \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् है
हल :
(i) ∵ सदिश
अतः λ = 3 के लिए दिए गए सदिश परस्पर लम्बवत् है।
(ii) ∵ सदिश
तथा सदिश
परस्पर लम्बवत् है, तब
अतः λ = 3 के लिए दिए गए सदिश परस्पर लम्बवत् है।
प्रश्न 6.
सदिश
का सदिश
पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना
तब सदिश \(\vec { a } \) को \(\vec { b } \) सदिश पर प्रक्षेप
(प्रक्षेप ऋणात्मक नहीं होता इसलिए ऋण चिन्ह छोड़ने पर)
अत: सदिश
का सदिश
पर प्रक्षेप \(\frac { 2 }{ 7 }\) है।
प्रश्न 7.
यदि
तथा
हो, तो एक सदिश \(\vec { c } \) ज्ञात कीजिए जबकि
एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करें।
हल :
दिया है :
अतः सदिश \(\vec { a } \) तथा सदिश \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् है अर्थात् समकोण बनाते है।
अब हमें सदिश \(\vec { c } \) ऐसा ज्ञात करना है जिससे \(\vec { a } ,\vec { b } \) तथा \(\vec { c } \) समकोण त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करें।
अब यदि \(\vec { a } ,\vec { b } \) तथा \(\vec { c } \) किसी त्रिभुज की भुजाओं के सदिश है। तो इनमें निम्न सम्बन्ध होगा।
प्रश्न 8.
यदि
तो सिद्ध कीजिए कि \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) परस्पर लम्ब सदिश है।
हल :
प्रश्नानुसार,
अत: \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्ब सदिश है। इति सिद्धम्
प्रश्न 9.
यदि बिन्दुओं A, B, C तथा D के निर्देशांक क्रमशः (3, 2, 4) (4, 5, -1), (6, 3, 2) तथा (2, 1, 0) हों, तो सिद्ध कीजिए कि रेखाएं \(\overrightarrow { AB } \) तथा \(\overrightarrow { CD } \) परस्पर लम्ब है।
हल :
दिया है कि बिन्दुओं A, B, C तथा D के निर्देशांक क्रमशः (3, 2, 4), (4, 5, – 1), (6, 3, 2) तथा (2, 1, 0) है।
तब भूल बिन्दु o के सापेक्ष A, B, C तथा D के स्थिति सदिश क्रमशः
यदि रेखाएँ [/latex] तथा \(\overrightarrow { AB } \) तथा [/latex] तथा \(\overrightarrow { CD } \) परस्पर लम्ब है, तो
अतः रेखाएँ [/latex] तथा \(\overrightarrow { AB } \) तथा [/latex] तथा \(\overrightarrow { CD } \) परस्पर लम्ब है। इति सिद्धम्
प्रश्न 10.
किसी सदिश \(\vec { a } \) के लिए सिद्ध कीजिए कि
हल :
माना
अब a1, a2 तथा a3 के मान समीकरण (1) में रखने पर,
अतः
इति सिद्धम्
प्रश्न 11.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्णो के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल :
माना OACB एक समान्तर चतुर्भुज है। O को मूलबिन्दु लेने पर A और B के स्थिति सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) हैं।
माना
∴ विकर्षों के वर्गों का योग = भुजाओं के वर्गों का योग।
अतः समान्तर चतुर्भुज के विकर्णो के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्