RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ Ex 7.3

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Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ Ex 7.3

प्रश्न 1.
ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए चित्र)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि :

(i) ΔABD = ΔACD
(ii) ΔABP = ΔACP
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
हल:
(i) ΔABD तथा ΔACD में,
AB = AC दिया है।
BD = DC दिया है।
और AD = AD [उभयनिष्ठ]
भुजा-भुजा-भुजा(RBSESolutions.com)गुणधर्म से, ΔABD = ΔACD
∠BAD = ∠CAD [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत कोणी]
∠BAP = ∠CAP …(i)
(ii) ΔABP तथा ΔACP में,
AB = AC [दिया है।]
∠BAP = ∠PAC [समी (i) से]
और AP = AP [उभयनिष्ठ भुजा]
भुजा-कोण-भुजा गुणधर्म से, ΔABP = ΔACP
BP = CP …(ii) (सर्वांगमस त्रिभुजों के संगत भाग]
(iii) ΔABD = ΔACD
∠BAD = ∠CAD
AP, ∠A को समद्विभाजित करता है। …(iii)
ΔBDP तथा ΔCDP में,
BD = CD [दिया है।]
BP = PC [समी (ii) से]
तथा DP = DP (उभयनिष्ठ भुजा)
भुजा-भुजा-भुजा(RBSESolutions.com)गुणधर्म से,
ΔBDP = ΔCDP
तथा ∠BDP = ∠CDP
DP, ∠D को समद्विभाजित करता है। …(iv)
समीकरण (iii) तथा (iv) से,
AP, ∠A तथा ∠D को समद्विभाजित करता है।
(iv) ΔBAP = ΔCAP
∠APB = ∠APC
∠APB + ∠APC = 180° [समान्तर युग्म]
परन्तु ∠APB = ∠APC [ऊपर सिद्ध किया जा चुका है।]
∠APB = ∠APC = \(\frac { 180 }{ 2 }\) = 90°
तथा BP = PC (ऊपर सिद्ध किया गया है)
या AP, BC का लम्ब(RBSESolutions.com)समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 2.
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि
(i) AD रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्वि(RBSESolutions.com)भाजित करता है।

हल
(i) AD शीर्ष A से BC पर लम्ब है, जो कि समद्विबाहु त्रिभुज ABC के आधार BC के सम्मुख है।
AB = AC,
∠ADC = ∠ADB = 90°
अब ΔADB तथा ΔADC में,
कर्ण AB = कर्ण AC [दिया है।]
AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा)
तथा ∠ADC = ∠ADB [प्रत्येक 90°]
समकोण-कर्ण-भुर्जी(RBSESolutions.com)सर्वांगसमता गुणधर्म से,
ΔADB = ΔADC
BD = DC [सर्वांगसमता त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं।]
AD, BC को संमद्विभाजित करता है।
(ii) ΔADB = ΔADC
अतः ∠BAD = ∠CAD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।]
AD, ∠A को समद्विभाजित करता है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमश: एक दूसरे त्रिभुजं की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं। (देखिए चित्र)। दर्शाइए कि

(i) ΔABM = ΔPQN
(ii) ΔABC = ΔPQR
हल
ΔABC तथा ΔPQR में,
AB = PQ, BC = QR तथा AM = PN
चूंकि AM तथा PN क्रमशः ΔABC तथा ΔPQR की माध्यिकाएँ हैं।
अब BC = QR [दिया है।]
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) QR
⇒ BM = QN …(i)
अब, ΔABM तथा ΔPQN में,
AB = PQ [दिया है।]
BM = QN [(i) से]
तथा AM = PN दिया है।
भुजा-भुजा-भुजा(RBSESolutions.com)सर्वांगसमता गुणधर्म से,
ΔABM = ΔPQN इति सिद्धम्।
∠B = ∠Q …(ii) [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।]
अब ΔABC तथा ΔPQR में,
AB = PQ दिया है।
∠B = ∠Q – [(ii) से]
BC = QR [दिया है।]
भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से,
ΔABC = ΔPQR
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल
ΔBCF तथा ΔCBE में,
∠BFC = ∠CEB [प्रत्येक 90° है।
कर्ण BC = कर्ण BC (उभयनिष्ठ भुजा)
FC = EB [दिया है]
समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से,
ΔBCF = ΔCBE
∠FBC = ∠ECB (सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
या ∠ABC = ∠ACB
AB = AC
ΔABC एक समद्विबाहु(RBSESolutions.com)त्रिभुज है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींचकर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।

हल
ΔABP तथा ΔACP में,
AB = AC [दिया है।
AP = AP (उभयनिष्ठ भुजा)
∠APB = ∠APC [प्रत्येक 90°]
समकोण-कर्ण-भुजा गुण(RBSESolutions.com)धर्म से,
ΔABP = ΔACP
∠B = ∠C (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इति सिद्धम्।

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